考研数学 - 第26页共165页 - 荒原之梦

凑微分：一道积分题用凑微分能有多少种解法？

一、题目

$I = \int \frac{d x}{\sin x \cos x} = ?$

难度评级：

应用罗尔定理的特征：闭区间连续、开区间可导、端点值相等

一、题目

设 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f (1) = 0$ , 请证明 $\exists ξ \in (0, 1)$ , 使 $ξ f^{'} (ξ) = - f (ξ)$ 成立.

难度评级：

通过提取式子中的“大头”，变无穷大为无穷小

一、题目

$I = lim_{x \to \infty} \frac{(2 x - 3)^{20} (3 x + 2)^{30}}{(2 x + 1)^{50} + x^{48} (2 x - 1)} = ?$

难度评级：

凑微分的特征：被积函数中的两部分是导数和原函数的关系

一、前言

在被积函数中，如果我们能找到两部分式子 “ $◻$ ” 和 “ $△$ ” 是导数和原函数的关系，例如：

$(◻)^{'} = △$

则可凑微分为：

$\int ◻ \cdot △ d x = \int ◻ d (◻)$

在本文中，荒原之梦考研数学网将通过几个例题演示上面的凑微分方法。

幂函数凑微分的标志：次幂相差 1

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网将给出几道涉及幂函数凑微分的题目及解析——

对于这类题目，判断能否尝试凑微分的一个关键“标志性信号”就是观察被积函数中是否存在次幂相差 $1$ 的部分。

次幂同时含有变量和常量的极限怎么计算？

一、题目

$I = lim_{x \to \infty} \frac{(x + a)^{x + a} (x + b)^{x + b}}{(x + a + b)^{2 x + a + b}} = ?$

难度评级：

2023年考研数二第20题解析：极坐标系二重积分

一、题目

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ , $x^{2} + y^{2} - x y = 2$ 与直线 $y = \sqrt{3} x$ , $y = 0$ 围成, 计算 $\iint_{D} \frac{1}{3 x^{2} + y^{2}} d x d y$ .

难度评级：

2023年考研数二第19题解析：定积分、旋转体的体积

一、题目

已知平面区域 $D = {(x, y) | 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1 + x^{2}}}, x \geq 1}$ ,

(1) 求 $D$ 的面积.

(2) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.

难度评级：

关于幂指函数的无穷大比较的一个重要结论

一、题目

$I = lim_{n \to \infty} \frac{5^{n} + 2^{n}}{5^{n + 1} + 2^{n + 1}} = ?$

难度评级：

2023年考研数二第18题解析：二元函数的极值、与奇偶性有关的解的判断

一、题目

求函数 $f (x, y)$ $=$ $x e^{\cos y} + \frac{x^{2}}{2}$ 的极值.

难度评级：

2023年考研数二第17题解析：等式挖掘、一阶线性微分方程、极值

一、题目

设曲线 $L : y = y (x) (x > e)$ 经过点 $(e^{2}, 0), L$ 上任一点 $P (x, y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y (x)$ .

(2) 在 $L$ 上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.

难度评级：

2023年考研数二第16题解析：非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目

已知线性方程组 ${\begin{matrix} a x_{1} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + a x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0 \\ a x_{1} + b x_{2} = 2 \end{matrix}$ 有解, 其中 $a, b$ 为常数。

若 $| \begin{array}{lll} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{array} | = 4$ . 则, $| \begin{array}{lll} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0 \end{array} | = ?$

难度评级：

2023年考研数二第15题解析：积分区间的拆分与合并

一、题目

设连续函数 $f (x)$ 满足: $f (x + 2) - f (x) = x, \int_{0}^{2} f (x) d x = 0$ , 则 $\int_{1}^{3} f (x) d x = ?$

难度评级：

2023年考研数二第14题解析：曲线一点处的法线

一、题目

曲线 $3 x^{3} = y^{5} + 2 y^{3}$ 在 $x = 1$ 对应点处的法线斜率为（）

难度评级：

2023年考研数二第13题解析：偏导数的特解

一、题目

设函数 $z = z (x, y)$ 由 $e^{z} + x z = 2 x - y$ 确定, 则 ${\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x} |}_{(1, 1)} = ?$

难度评级：