分类： 考研数学

一、题目

若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 又 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=l$, 则

(A) $l>0$

(B) $l=0$

(C) $l<0$

(D) 以上均不对

难度评级：

继续阅读“涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例”

一、题目

若 $a>0, f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 并且当 $0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$

(A) $>0$

(B) $<0$

(C) $=0$

(D) 不能确定符号

难度评级：

继续阅读“解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑”

一、题目

曲线 $y=(x+2) \mathrm{e}^{\frac{-1}{x}}$

(A) 仅有水平渐近线

(B) 仅有铅直渐近线

(C) 既有铅直又有水平渐近线

(D) 既有铅直又有斜渐近线

难度评级：

继续阅读“对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $x_{0} \neq 0,\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点, 则：

(A) $x_{0}$ 必是 $f^{\prime}(x)$ 的驻点

(B) $\left(-x_{0},-f\left(x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(-x)$ 的拐点

(C) $\left(-x_{0},-f\left(-x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(x)$ 的拐点

(D) 对任意 $x>x_{0}$ 与 $x<x_{0}, y=f(x)$ 的凹凸性相反

难度评级：

继续阅读“拐点不一定是驻点”

一、题目

曲线 $y=2 x-\sqrt{x^{2}-1}$ 的斜渐近线为（）

难度评级：

继续阅读“求解斜渐近线：原函数除以 x”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 邻域二阶连续可导且满足 $x y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=\arctan ^{2} x$, 则：

(A) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点

(B) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点

(C) $(0, y(0))$ 点是 $y=y(x)$ 的拐点

(D) 以上均不对

难度评级：

继续阅读“「零负」乘以「零负」得「零正」”

一、题目

已知 $f(x)=x \sin x+\cos x$, 下列命题中正确的是：

(A) $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值

(B) $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值

(C) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极大值

(D) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极小值

难度评级：

继续阅读“你会用一阶导还是二阶导判断极值点？”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 点三阶可导, 且 $f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=0, f^{\prime \prime \prime}(a)>0$, 则：

(A) 函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 取到极大值 $f^{\prime}(a)$

(B) 函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 取到极大值 $f(a)$

(C) 函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 取到极小值 $f(a)$

(D) $(a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

难度评级：

继续阅读“三阶导是一阶导的二阶导”

一、题目

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln x-x, & x \geqslant 1 \\ x^{2}-2 x, & x<1\end{array}\right.$, 则：

(A) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点

(B) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点

(C) $(1, f(1))$ 是 $y=f(x)$ 拐点

(D) $(1, f(1))$ 不是 $y=f(x)$ 拐点

难度评级：

继续阅读“成为拐点的本质要求是二阶导的正负性发生改变，而不是二阶导等于零”

一、题目

以下四个结论中正确的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在,则 $f^{\prime}(0)$ 存在

(B) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点

(C) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是奇函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在

(D) 设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处存在切线, 反之亦然

难度评级：

继续阅读“关于一点处导数存在和切线与导数之间关系的几个特例”

一、题目

已知 $f(x)$ 有二阶连续导数, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$, $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又设 $u=u(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{u(x)}=?$

难度评级：

继续阅读“怎么表示切线在 X 轴上的截距？”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续, 且 $f(x)=a+g(x)$, 其中 $a \neq 0$ 为常数, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$,又 $\int_{0}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t=b$, 则 $x \rightarrow+\infty$ 时，$y=F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 有渐近线（）

难度评级：

继续阅读“在无穷大方向上，函数可能存在水平渐近线和倾斜渐近线”

一、题目

已知 $f(x)$ 是周期为 $5$ 的连续函数, 在 $x=0$ 的某个邻域内, 满足 $f(1+\sin x)-3 f(1-\sin x)=8 x+\alpha(x)$. 其中当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $\alpha(x)$ 是关于 $x$ 的高阶无穷小, 且 $f(x)$ 在 $x=1$ 点可导, 则曲线 $y=f(x)$在点 $(6, f(6))$ 处的切线方程为（）

难度评级：

继续阅读“导数和原函数的周期性是一致的”

一、题目

设 $f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2}$, 则 $f^{(n)}(x)=?$

难度评级：

继续阅读“这个无穷阶导数的规律你会找吗？”