荒原之梦 – 第 244 页

题目

设 $A$, $B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩，$(X,Y)$ 表示分块矩阵，则 $?$

$$A. r(A,AB)=r(A)$$

$$B. r(A,BA)=r(A)$$

$$C. r(A,B)= \max \{ r(A), r(B) \}$$

$$D. r(A,B) = r(A^{\top}, B^{\top})$$

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一、名词解释

1. 行满秩

矩阵有效的行数，也就是线性无关的行的个数。

2. 列满秩

矩阵有效的列数，也就是线性无关的列的个数。

3. 满秩

一个矩阵行满秩或者列满秩（满足一个即可）就称为满秩矩阵。

这里需要注意的是，并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然，只要一个矩阵行满秩（列满秩），那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数（列数）的方阵了，自然也不会存在阶数大于其行数（列数）的非零方阵。

4. 行秩 $\textcolor{red}{=}$ 列秩 $\textcolor{red}{=}$ 秩

无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵，都有如下性质：

行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。

对此我们可以这样理解：由于转置并不改变矩阵的秩，因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。

二、性质

若 $A$ 【行】满秩，则：

$$
R(BA)=R(B).
$$

若 $A$ 【列】满秩，则：

$$
R(AB)=R(B).
$$

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一、题目

下列矩阵中，与矩阵 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ 相似的为（）

⟨A⟩. $\begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

⟨B⟩. $\begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

⟨C⟩. $\begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

⟨D⟩. $\begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

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虚拟机中【安装】泰阿红队单兵作战系统(TaieRedTeamOS)

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虚拟机中【临时使用】泰阿红队单兵作战系统(TaieRedTeamOS)

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2018年考研数二第06题解析：二重积分、二重积分的简化运算

一、题目

$$
\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y +\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x^{2}} \left(1-xy \right) \mathrm{~d} y = ?
$$

⟨A⟩. $\frac{5}{3}$

⟨B⟩. $\frac{5}{6}$

⟨C⟩. $\frac{7}{3}$

⟨D⟩. $\frac{7}{6}$

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题目

设 $M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$, $N$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$, $K$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{~d} x$, 则（）

⟨A⟩. $M$ $>$ $N$ $>$ $K$

⟨C⟩. $K$ $>$ $M$ $>$ $N$

⟨B⟩. $M$ $>$ $K$ $>$ $N$

⟨D⟩. $K$ $>$ $N$ $>$ $M$

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作者：荒原之梦

F-15E战机起飞瞬间

2018年考研数二第08题解析

题目

[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质