作者： 荒原之梦

题目

设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程 $r = \cos 3 \theta$, $(-\frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6})$, 则 $L$ 所围平面图形的面积是 $?$

继续阅读“2013年考研数二第11题解析”

题目

设函数 $f(x)=\int_{-1}^{x} \sqrt{1-e^{t}} dt$, 则 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=0$ 处的导数 $\frac{dx}{dy}|_{y=0} = ?$

继续阅读“2013年考研数二第10题解析”

题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [2 – \frac{\ln (1+x)}{x}]^{\frac{1}{x}} = ?
$$

继续阅读“2013年考研数二第09题解析”

题目

设 $D_{k}$ 是圆域 $D={(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 1 }$ 在第 $k$ 象限的部分，记 $I_{k}=\iint_{D_{k}} (y-x) dxdy (k=1,2,3,4)$, 则 $?$

$$
A. I_{1} > 0
$$

$$
B. I_{2} > 0
$$

$$
C. I_{3} > 0
$$

$$
D. I_{4} > 0
$$

继续阅读“2013年考研数二第06题解析”

题目

设 $z=\frac{y}{x}f(xy)$, 其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = ?$

$$
A. 2yf^{‘}(xy)
$$

$$
B. -2yf^{‘}(xy)
$$

$$
C. \frac{2}{x}f(xy)
$$

$$
D. -\frac{2}{x}f(xy)
$$

继续阅读“2013年考研数二第05题解析”

题目

设函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{(x-1)^{a-1}}, 1 < x < e,\\
\frac{1}{x \ln^{a+1} x}, x \geqslant e.
\end{matrix}\right.$ 若反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x)dx$ 收敛，则 $?$

$$
A. a < -2
$$

$$
B. a > 2
$$

$$
C. -2 < a < 0
$$

$$
D. 0 < a < 2
$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：

$$
\int_{1}^{e} \frac{1}{(x-1)^{a-1}}dx \Rightarrow 收敛;
$$

$$
\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{a+1} x} dx \Rightarrow 收敛.
$$

结合前面的公式，于是有：

$$
a-1<1;
$$

$$
a+1>1.
$$

于是：

$$
0<a<2.
$$

综上可知，正确选项为 $D$.

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