2012年考研数二第03题解析

题目

设 $a_{n}>0$ $(n=1,2,…)$, $S_{n}=a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$, 则数列 $\{S_{n}\}$ 有界是数列 $\{a_{n}\}$ 收敛的 $?$

$$
A. 充分必要条件
$$

$$
B. 充分非必要条件
$$

$$
C. 必要非充分条件
$$

$$
D. 既非充分也非必要条件
$$

解析

本题考查收敛数列的性质,有关本部分知识可以参考:

[高数]收敛数列与发散数列

首先,读题一定要【逐个字符】去读并【标出重点】。

例如,在本题中,题目中给出的 $a_{n}>0$ 就是一个十分重要的条件,这个条件告诉我们数列 $\{a_{n}\}$ 的每一项都是大于零的,如果没有这个条件,那么数列 $\{a_{n}\}$ 就可能存在大于零、小于零或者等于零的项。

根据【前充分后必要】规则,先看充分性:

如果数列 $\{S_{n}\}$ 有界,那么就表明,当 $n \rightarrow +\infty$ 时,$\{S_{n}\}$ 的数值不再发生改变,也就是说,这个时候加上来的 $a_{n}$ 都趋于零。

P.S: 如果 $a_{n}$ 可以为负数,则当数列 $\{a_{n}\}$ 既包含极限为正数的子列,也包含极限为负数的子列时,通过正负相加的抵消作用,也可能使 $S_{n}$ 的数值存在一个极限,但本题中说了 $a_{n}>0$, 因此,这种情况被排除。这里可以引申出一个检查题目是否解答正确的方法:看一看解题过程中有没有没用到的已知条件——考研题目通常不会给出多余的条件,如果解答过程中没有全部使用到这些已知条件,那么,这个解答过程以及由此得出的结论极有可能存在问题。

即:

$$
\lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} = 0.
$$

于是可知,数列 $\{a_{n}\}$ 是收敛数列(收敛于零),充分性成立。

接着来看必要性:

如果 $\{a_{n}\}$ 收敛,则根据前提条件,$\{a_{n}\}$ 可能收敛于零或者收敛于某一个大于零的正数。

如果 $\{a_{n}\}$ 收敛于零,则可知 $\{S_{n}\}$ 也会收敛于某一个极限,因此,此时的 $\{S_{n}\}$ 是有界的。但是,如果 $\{a_{n}\}$ 收敛于某一个大于零的正数,那么 $\{S_{n}\}$ 将始终增加,因此,此时的 $\{S_{n}\}$ 是无界的。

于是可知,必要性不满足(只要存在一种不满足的情况就是不满足)。

综上可知,正确选项为 $B$.

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