题目
设函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix}
\sin x, 0 \leqslant x < \pi,\\
2, \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi,
\end{matrix}\right.$ $F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt$, 则 $?$
$$
A. x = \pi 是函数 F(x) 的跳跃间断点
$$
$$
B. x = \pi 是函数 F(x) 的可去间断点
$$
$$
C. F(x) 在 x = \pi 处连续但不可导
$$
$$
D. F(x) 在 x = \pi 处可导
$$
解析
解答本题，首先需要理解变限积分的几何意义，关于这部分内容，可以参考下面这篇文章：
由于 $f(x)$ 的变限积分实际上是描述的 $f(x)$ 与坐标轴和积分区间 $[0,x]$ 围成的面积随 $x$ 的变化而变化的状态，其反映的其实是一种【积分面积的累积变化】。因此，当这个变化过程中存在有限个【可去间断点】或者【跳跃间断点】的时候，我们认为，【积分面积的累积变化】相对于没有这些间断点的情况是没有任何改变的，也就是说，此时，积分面积的变化状态仍然是【连续】的。
但是，如果在变限积分的积分区间内存在【无穷间断点】或者【震荡间断点】这样的能带来显著面积特征改变的间断点，那么，变限积分【积分面积的累积变化】就会因此被扰动，从而可能使积分面积的变化变得【不连续】。
在本题中，由于 $\sin \pi = 0 \neq 2$, 因此，$x = \pi$ 对应于 $f(x)$ 的跳跃间断点，于是，对应的变限积分 $\int_{0}^{x}f(t) dt$ 在 $x = \pi$ 处是连续的。
由上述分析，可以排除 $A$, $B$ 两个选项。
又，当 $0 \leqslant x < \pi$ 时，有：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} \sin t dt \Rightarrow
$$
$$
F^{‘}(x) = \sin x \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \pi^{-}} \sin x = 0^{+} = 0.
$$
当 $\pi \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 时，有：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} 2 dt \Rightarrow
$$
$$
F^{‘}(x) = 2 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \pi^{+}} 2 = 2.
$$
由于 $0 \neq 2$, 因此， 在 $x = \pi$ 处，$F(x)$ 不可导。
注意：$C$, $D$ 两个选项都涉及了【是否可导】这个问题，因此，$C$, $D$ 两个选项是极为相似的【迷惑选项】，根据【一般的】出题规律，出题人为了考察考生的解题能力，一般都会把正确选项隐藏在这样【具有某种相似特征】的【迷惑选项】中。而且，一般包含变限积分的题目都会涉及对变限积分的求导，但 $A$, $B$ 两个选项都没提求导的事，因此，$C$ 或 $D$ 二者之一可能为正确答案 ——
该分析仅供参考，不保证所有题目都有上述规律。
综上可知，正确选项为 $C$.
EOF