题目
设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$, 在正交变换 $X=PY$ 下的标准形为 $2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} – y_{3}^{2}$. 其中 $P=(e_{1}, e_{2}, e_{3})$. 若 $Q=(e_{1}, -e_{3}, e_{2})$, 则 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $X=QY$ 下的标准形为 $?$
$$
A. 2y_{1}^{2} – y_{2}^{2} + y_{3}^{2}
$$
$$
B. 2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} – y_{3}^{2}
$$
$$
C. 2y_{1}^{2} – y_{2}^{2} – y_{3}^{2}
$$
$$
D. 2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}
$$
解析
由题可知：
$e_{1}$ 对应的特征值为 $\lambda_{1} = 2$;
$e_{2}$ 对应的特征值为 $\lambda_{2} = 1$;
$e_{3}$ 对应的特征值为 $\lambda_{3} = -1$.
又由通过特征值求特征向量的公式 $(\lambda_{i}E-A)X_{i}=0$ 可知，这个公式是一个齐次线性方程。对于齐次线性方程而言，$X_{i}$ 和 $-X_{i}$ 对应的都是同一个特征值 $\lambda_{i}$, 即特征向量加不加负号都对应同一个特征值，因为最终的结果都是得零。
于是，我们知道：
$-e_{3}$ 对应的特征值是 $-1$, 而不是 $-(-1)$.
因此，$Q=(e_{1}, – e_{3}, e_{2})$ 对应的特征值依次是 $2, -1, 1$.
于是，二次型 $f$ 在正交变换 $X=QY$ 下的标准形为：
$$
2y_{1}^{2} – y_{2}^{2} + y_{3}^{2}.
$$
综上可知，正确选项为 $A$.
EOF