题目
设 $D$ 是第一象限中由曲线 $2xy=1$, $4xy=1$ 与直线 $y=x$, $y= \sqrt{3}x$ 围成的平面区域，函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_{D} f(x,y)dxdy = ?$
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A. \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} d \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr
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B. \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} d \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr
$$
$$
C. \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} d \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) dr
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$$
D. \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} d \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) dr
$$
解析
本题是考察使用极坐标变换将二重积分变成累次积分的知识。
首先，在极坐标系中使用累次积分时，右侧对 $r$ 积分时是需要写成 $\int fr dx$ 的，不能少了式子中的 $r$, 因此，可以排除 $C$, $D$ 两项。
如图 1, 对 $\theta$ 积分时，积分下限 $\theta_{1} = \frac{\pi}{4}$, 积分上限 $\theta_{2} = \frac{\pi}{3}$, 这两个数值可以通过画图和使用三角函数计算出来。
接着，设 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, 于是：
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xy = \frac{1}{4} \Rightarrow
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r^{2}\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow
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r^{2} \frac{1}{2} \sin 2 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow
$$
$$
r^{2} \sin 2 \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow
$$
$$
r = \frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}.
$$
$$
xy = \frac{1}{2} \Rightarrow
$$
$$
r^{2} \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow
$$
$$
r^{2} \frac{1}{2} \sin 2 \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow
$$
$$
r = \frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}.
$$
于是可知，对 $\theta$ 进行积分时，积分下限是 $\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}$, 积分上限是 $\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}$.
综上可知，正确选项为 $B$.
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