2016年考研数二第14题解析

题目

设矩阵 $\begin{bmatrix} a&  -1& -1\\  -1&  a& -1\\  -1&  -1& a\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} 1&  1& 0\\  0&  -1& 1\\  1&  0& 1\end{bmatrix}$ 等价,则 $a = ?$

解析

设:

$$A=\begin{bmatrix} a&  -1& -1\\  -1&  a& -1\\  -1&  -1& a\end{bmatrix}$$

$$B=\begin{bmatrix} 1&  1& 0\\  0&  -1& 1\\  1&  0& 1\end{bmatrix}$$

则由 $A \sim B$ 可知:

$$r(A) = r(B).$$

又:

$$B=\begin{bmatrix} 1&  1& 0\\  0&  -1& 1\\  1&  0& 1\end{bmatrix}=$$

$$\begin{bmatrix} 1&  0& 1\\  0&  -1& 1\\  1&  0& 1\end{bmatrix}=$$

$$\begin{bmatrix} 1&  0& 1\\  0&  -1& 1\\  0&  0& 0\end{bmatrix}.$$

故:

$$r(B) = 2.$$

即:

$$r(A) = 2$$

且:

$$|A|=0.$$

又:

$$\begin{vmatrix} a&  -1& -1\\  -1&  a& -1\\  -1&  -1& a\end{vmatrix}=$$

$$\begin{vmatrix} a-2&  a-2& a-2\\  -1&  a& -1\\  -1&  -1& a\end{vmatrix}=$$

$$(a-2)\begin{vmatrix} 1&  1& 1\\  -1&  a& -1\\  -1&  -1& a\end{vmatrix}=$$

$$(a-2)\begin{vmatrix} 1&  1& 1\\  0&  a+1& 0\\  0&  0& a+1\end{vmatrix}$$

即有:

$$(a-2)\begin{vmatrix} 1&  1& 1\\  0&  a+1& 0\\  0&  0& a+1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow$$
$$(a-2)(a+1)^{2} = 0 \Rightarrow$$

$$a=2 或 a=-1.$$

又 $a=-1$ 时,$r(A) = 1 \neq 2$, 所以:

$$a=2.$$

综上可知,正确答案为 $2$.

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