2017年考研数二第02题解析

题目

设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1) = f(-1) = 1$, $f(0)=-1$, 且 $f^{”}(x)>0$, 则 $?$

$$A. \int_{-1}^{1} f(x) dx > 0$$

$$B. \int_{-1}^{1} f(x) dx < 0$$

$$C. \int_{-1}^{0} f(x) dx > \int_{0}^{1} f(x) dx$$

$$D. \int_{-1}^{0} f(x) dx < \int_{0}^{1} f(x) dx$$

解析

方法一:

由 $f^{”}(x)>0$ 可推知:

$$
f(x) = x^{2}.
$$

又由 $f(0)=-1$ 可推知:

$$
f(x) = x^{2} – 1.
$$

又由 $f(1) = f(-1) = 1$ 可推知:

$$
f(x) = 2 x^{2} – 1.
$$

于是,由于 $f(x)$ 关于 $y$ 轴对称,所以 $C,D$ 选项错误。

又:

$$
\int_{-1}^{1} f(x) dx =
$$

$$
\int_{-1}^{1} (2 x^{2} – 1) dx =
$$

$$
\int_{-1}^{1} (2 x^{2}) dx – \int_{-1}^{1} 1 dx =
$$

$$
2 \cdot \frac{1}{3} x^{3} |{-1}^{1} – x |{-1}^{1} =
$$

$$
[\frac{2}{3} + \frac{2}{3}] – [1+1] =
$$

$$
\frac{4}{3} – \frac{6}{3} = – \frac{2}{3} < 0.
$$

于是,$B$ 选项正确。

方法二:

如图 1 所示,用红色折线将 $A,B,C$ 三个点连接起来,此时会形成 $s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}$ 四个小三角形,且:

$$
s_{1} = s_{2} = s_{3} = s_{4}.
$$

则可知,红色折线在区间 $[-1,1]$ 上与坐标轴围成的的面积的代数和为 $0$.

又由 $f^{”}(x)>0$ 可知,$f(x)$ 的曲线是凹的,$f(x)$ 的大致图像如图 1 中灰色线条所示,因此,$f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上与坐标轴围成的面积的代数和一定小于 $0$, 即选项 $B$ 正确。

图 1

综上可知,正确选项为 $B$.

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