2021年考研数二第13题解析：二元方程求偏导数

一、题目

难度评级：

二、解析

解法 1

在方程的等号两边同时对 $x$ 求导，得：

$$
z+\left(x+1\right)\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{2y}{1+4x^{2}y^{2}} = 0 \tag{1}
$$

将 $x=0, y=2$ 带入原方程 $\left( x+1 \right)z + y \ln z – \arctan \left( 2xy \right) = 1$ 得：

$$
z=1
$$

于是，将 $x=0, y=2, z=1$ 带入 $(1)$ 式，得：

$$
\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(0,2\right)} = 1
$$

解法 2

首先，令：

$$
F \left(x, y, z\right) = \left(x + 1\right) z + y \ln z – \arctan \left(2 x y\right) – 1
$$

则：

$$
\begin{aligned}
F_{x}^{\prime} & = \frac{\partial F}{\partial x} = z – \frac{2 y}{1 + \left(2 x y\right)^{2}} \\ \\
F_{z}^{\prime} & = \frac{\partial F}{\partial z} = \left(x + 1\right) + \frac{y}{z}
\end{aligned}
$$

接着，将 $x = 0, y = 2$ 代入原方程，得：

$$
z = 1
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
F_{x}^{\prime} & = -3 \\ \\
F_{z}^{\prime} & = 3
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
F \left( x,y,z \right) = F \left( x, y, z \left( x,y \right) \right) \tag{2}
$$

于是，在上面 $(2)$ 式的等号两端同时对 $x$ 求导，得：

$$
\begin{aligned}
& \ F ^{\prime} _{x} + F ^{\prime} _{z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \frac{\partial z}{\partial x} = – \frac{F ^{\prime} _{x}}{F ^{\prime} _{z}}
\end{aligned}
$$

综上：

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(0, 2\right)} = – \left.\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}\right|_{\left(0, 2, 1\right)} = 1
$$

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