2021年考研数二第07题解析：定积分的定义、定积分转求和

一、题目

»A« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n}$

»B« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

»C« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

»D« $\lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k}{2n}\right) \cdot \frac{2}{n}$

难度评级：

二、解析

解法 1

可以将区间 $\left[0,1\right]$ 分为 $n$ 等份，即：

$$
\left[0, \frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right] \cdots, \left[\frac{k-1}{n}, \textcolor{lightgreen}{ \frac{k}{n} } \right], \left[\textcolor{lightgreen}{\frac{k}{n}},\frac{k+1}{n}\right] \cdots, \left[\frac{n-1}{n},1\right]
$$

根据定积分定义，基于 $\textcolor{lightgreen}{\frac{k}{n}}$ 做求和运算，得：

$$
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n}
$$

因此，对于每个区间宽度为 $\frac{1}{n}$ 的区间 $\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]$, 如果我们都取该区间的中间点，则区间 $\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]$ 就会变成：

$$
\left[\frac{k}{n}, \textcolor{lightgreen}{ \frac{k-\frac{1}{2}}{n} } \right] \cup \left[ \textcolor{lightgreen}{ \frac{k-\frac{1}{2}}{n} }, \frac{k+1}{n}\right]
$$

因此，基于点 $\frac{k-\frac{1}{2}}{n} = \frac{2k-1}{2n}$, $k=1, 2, \cdots, n$ 做求和运算，可将原定积分做如下转化：

$$
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \frac{1}{n}
$$

综上可知，本 题 应 选 »B«

解法 2

观察可知，选项 »A«, »B«, »C«, »D« 中函数 $f$ 中的变量的分母都是 $2n$, 所以，如果想逐一对这四个选项做出判断，而不是像上面的“解法 1”一样那么“先验”地知道要直接判断 »B« 选项是否正确，则最好是像这里的“解法 2”一样，将区间 $\left[ 0,1 \right]$ 划分成 $2n$ 份，而非 $n$ 份——

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于 »A« 选项和 »B« 选项，将区间 $\left[0, 1\right]$ 划分为 $2n$ 份，每 $2$ 份为一组，即：

$$
\left[0, \frac{2}{2 n}\right], \left[\frac{2}{2 n}, \frac{4}{2 n}\right], \cdots, \left[\frac{2 \left(n – 1\right)}{2 n}, \frac{2 n}{2 n}\right]
$$

取区间中点 $\xi_{k} = \frac{2 k – 1}{2 n}$, 则：

$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f\left(\frac{2 k – 1}{2 n}\right) \frac{2}{2 n} & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f\left(\frac{2 k – 1}{2 n}\right) \frac{1}{n} \\ \\
& = \int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
\end{aligned}
$$

于是可知，»A« 选项错误，»B« 选项正确.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于 »C« 选项和 »D« 选项，将区间 $\left[0, 1\right]$ 划分为 $2n$ 份，每 $1$ 份为一组，即：

$$
\left[0, \frac{1}{2 n}\right], \left[\frac{1}{2 n}, \frac{2}{2 n}\right], \cdots, \left[\frac{2 n – 1}{2 n}, \frac{2 n}{2 n}\right]
$$

取 $\xi_{k} = \frac{k – 1}{2 n}$ 或 $\xi_{k} = \frac{k}{2 n}$ 为采样点，则：

$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f\left(\xi_{k}\right) \frac{1}{2 n} = \int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$

于是可知，»C« 选项和 »D« 选项都错误.

综上可知，本 题 应 选 »B«

解法 3

要将一个定积分转为对应的求和表达式，或者将一个合适的求和表达式转为对应的定义积分，需要用到的定理就是“标准黎曼和”.

简单来说，标准黎曼和就是下面这个式子：

$$
k \int_{a}^{b} f \left( x \right) \mathrm{~d} x = k \lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( \xi_{k} \right) \Delta x
$$

其中，$k$ 为系数，$\xi_{k} \in \left( x_{k-1}, x_{k} \right)$, $\Delta x = x_{k} – x_{k-1}$.

可以看到，在标准利曼和中，$\Delta x$ 实际上是由 $\xi_{k}$ 决定的. 但是，由于系数 $k$ 的存在，$\Delta x$ 也可以看上去并不是由 $\xi_{k}$ 决定的，例如：

$$
k \int_{a}^{b} f \left( x \right) \mathrm{~d} x = \lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( \xi_{k} \right) \cdot \left( k \cdot \Delta x \right)
$$

如果我们将上面式子中的 $k \cdot \Delta x$ 看作是 $\Delta x$, 就会导致 $\Delta x$ 与 $\xi_{k}$ 并不匹配——不过，如果我们仍然严格遵循标准利曼和的定义公式，事实上也可以还原出来与原本的定积分公式，就像我们在接下来的“解法 4”中所做的一样，你会发现选项 »A«, »C«, »D« 转换出来的定积分都是带有系数的.

但是，本题的特殊性就在于，题干中所给的定积分是没有系数的，因此，假如我们默认 »A«, »C«, »D« 选项都分别正确（虽然这是不可能的），那么，就说明 »A« 选项中的 $\frac{1}{2n}$, C 选项中的 $\frac{1}{n}$, 以及 »D« 选项中的 $\frac{2}{n}$ 都是标准黎曼和公式中那个真正的 $\Delta x$, 我们也可以正确地还原出题干中那个没有系数的定积分——

要判断 »A«, »C«, »D« 选项是否正确，我们首先需要将区间 $\left[ 0,1 \right]$ 分成 $2n$ 份，即：

$$
\left[0, \frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n}, \frac{2}{2n}\right] \cdots, \left[\frac{k-1}{2n},\frac{k}{2n}\right], \left[\textcolor{lightgreen}{\frac{k}{2n}},\frac{k+1}{2n}\right] \cdots, \left[\frac{2n-1}{2n},1\right]
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »A« 选项为什么错误：该选项中的 $\frac{1}{2n}$ 表明这是将 区间分成了 $2n$ 份，对应到 $\frac{2k-1}{2n}$ 中，当 $k = 2n$ 时，$\frac{2k-1}{2n} = \frac{4n-1}{2n} \simeq 2$, 这表明积分区间是 $\left[ 0,2 \right]$ 而非 $\left[ 0,1 \right]$, 因此，该选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »C« 选项为什么错误：该选项中的 $\frac{1}{n}$ 表明这是将区间分成了 $n$ 份，对应到 $\frac{k-1}{2n}$ 中，当 $k = n$ 时，$\frac{k-1}{2n} = \frac{n-1}{2n} \simeq \frac{1}{2}$, 这表明区间是 $\left[ 0, \frac{1}{2} \right]$, 而非 $\left[ 0, 1 \right]$, 因此，该选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »D« 选项为什么错误：选项为什么错误：该选项中的 $\frac{2}{n}$ 表明这是将区间分成了 $\frac{n}{2}$ 份，对应到 $\frac{k}{2n}$ 中，当 $k = \frac{n}{2}$ 时，$\frac{k}{2n} = \frac{n}{2 \cdot 2n} \simeq \frac{1}{4}$, 这表明区间是 $\left[ 0, \frac{1}{4} \right]$, 而非 $\left[ 0, 1 \right]$, 因此，该选项错误.

综上，我们在可以将 »A« 选项中的 $\frac{1}{2n}$, »C« 选项中的 $\frac{1}{n}$, 以及 »D« 选项中的 $\frac{2}{n}$ 都看作标准黎曼和公式中那个真正的 $\Delta x$ 的情况下，没有推导出题干中的定积分，所以，»A«, »C«, »D« 选项都不正确.

综上可知，本 题 应 选 »B«

解法 4

可以通过将选项中的求和逐个转为定积分的方式判断出正确选项：

»A« 选项：

$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n} & = \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n} \\ \\
& = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} f\left(x\right)\mathrm{~d}x
\end{aligned}
$$

»B« 选项：

$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \frac{1}{n} & = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k}{2n}\right) \frac{1}{n} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d} x }
\end{aligned}
$$

»C« 选项：

$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n} & = 2\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n} \\ \\
& = 2\int_{0}^{1} f\left(x\right)\mathrm{~d}x
\end{aligned}
$$

»D« 选项：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k}{2n}\right) \cdot \frac{2}{n} & = 4\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n} \\ \\
& = 4\int_{0}^{1} f\left(x\right)\mathrm{~d}x
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 »B«

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