2026年考研数二第19题解析：二元函数的极值、二元函数极值存在的充分条件

一、题目

二、解析

首先，根据《极值存在的充分条件：判别公式中的 A, B, C 都是多少？》这篇讲义，求得：

$$
\begin{aligned}
& f_{x} ^{\prime} = 4x \mathrm{e}^{x} + (2x^{2} – y^{2})\mathrm{e}^{x} \\ \\
& f_{y} ^{\prime} = -2y\mathrm{e}^{x}
\end{aligned}
$$

于是，若令 $\begin{cases} f_{x} ^{\prime} = 0 \\ f_{y} ^{\prime} = 0 \end{cases}$, 则 $\begin{cases} x = 0, \\ y = 0, \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x = -2, \\ y = 0. \end{cases}$.

接着，令：

$$
\begin{aligned}
A & = f_{xx} ^{\prime \prime} = \mathrm{e}^{x}(2x^{2} + 8x + 4 – y^{2}) \\ \\
B & = f_{xy} ^{\prime \prime} = -2y\mathrm{e}^{x} \\ \\
C & = f_{yy} ^{\prime \prime} = -2\mathrm{e}^{x}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
A \Big|_{(0,0)} = 4 \\ \\
B \Big|_{(0,0)} = 0 \\ \\
C \Big|_{(0,0)} = -2
\end{cases} \quad \quad \quad \quad \begin{cases}
A \Big|_{(-2,0)} = -4 \mathrm{e}^{-2} \\ \\
B \Big|_{(-2,0)} = 0 \\ \\
C \Big|_{(-2,0)} = -2 \mathrm{e}^{-2}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

则，根据二元函数极值存在的充分条件的判别公式可知，由于：

$$
\begin{aligned}
& B^{2} – AC \Big|_{(0,0)} = 8 > 0 \\ \\
& B^{2} – AC \Big|_{(-2,0)} = -8 \mathrm{e}^{-4} < 0
\end{aligned}
$$

综上可知：

1. $(0,0)$ 不是极值点；
2. 由于 $A \Big|_{(-2,0)} = -4\mathrm{e}^{-2} < 0$, 所以 $(-2,0)$ 为极大值点且极大值为 $f(-2,0) = \frac{8}{\mathrm{e}^{2}}$.

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