2026年考研数二第16题解析：矩阵的秩、二次型的规范型

一、题目

二、解析

由题可知，二次型 $\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $\boldsymbol{y}_{1}^{2}$, 因此矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top}$ 只有一个非零的特征值，所以该矩阵的秩为 $1$.

又因为：

$$
\mathrm{r} (\boldsymbol{A}) = \mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top})
$$

所以，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $1$, 因此，矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & b & -1 \\
a+2 & 3 & -3a
\end{pmatrix}$ 的两行对应成比例，即：

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{a + 2} = \frac{b}{3} = \frac{1}{3 a} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
3 = (a+2)b, \\
-3ab = -3
\end{cases} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
a = 1 \\
b = 1
\end{cases}
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
a + b = 2
$$

---