2026年考研数二第11题解析：反常积分的敛散性判断

一、题目

二、解析

解法 1

首先：

$$
I = \int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{p} (x+1)} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x + \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x
$$

令 $f(x) = \frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)}$, 则下面两个式子都要收敛：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

接着，根据《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》这篇讲义可知：

• 当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，$f(x) \sim \frac{x}{x^{p}} \sim \frac{1}{x^{p-1}}$, 若要使 $I_{1}$ 收敛，则需 $p-1<1$, 即 $p<2$;
• 当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$f(x) \sim \frac{\pi}{2}\frac{1}{x^{p+1}}$，若要使 $I_{2}$ 收敛，则需 $p+1>1$, 即 $p>0$.

综上可知，若积分 $I$ 收敛，则需：

$$
0 < p < 2
$$

解法 2

首先：

$$
I = \int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{p} (x+1)} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x + \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x
$$

令 $f(x) = \frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)}$, 则下面两个式子都要收敛：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^{p} (1+x)} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

接着：

• 根据比阶/比值审敛法，对于 $\int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{~d} x$, 因为 $\lim_{x \to 0^{+}} x^{p-1} \cdot \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} = 1$, 所以 $\int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{~d} x$ 和 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p-1}} \mathrm{~d} x$ 敛散性相同，于是，根据《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》这篇讲义可知：

$$
p-1 < 1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } p < 2
$$

• 根据比阶/比值审敛法，对于 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{~d} x$, 因为 $\lim_{x \to +\infty} x^{p+1} \cdot \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} = \frac{\pi}{2}$, 所以 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{~d} x$ 和 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p+1}} \mathrm{~d} x$ 敛散性相同，于是，根据《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》这篇讲义可知：

$$
p + 1 > 1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } p > 0
$$

综上可知，若积分 $I$ 收敛，则需：

$$
0 < p < 2
$$

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