2026年考研数二第10题解析：抽象矩阵、特征值、特征向量、对角矩阵

一、题目

»A« $(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{3} = \boldsymbol{O}$

»B« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有零特征值

»C« $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 不能都是对角矩阵

»D« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有一个线性无关的特征向量

二、解析

首先，由题目已知条件 $\boldsymbol{AB}$ $+$ $\boldsymbol{BA}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{2}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{2}$ 可知：

$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{AB} + \boldsymbol{BA} = \boldsymbol{A}^{2} + \boldsymbol{B}^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{AB} – \boldsymbol{A}^{2} + \boldsymbol{BA} – \boldsymbol{B}^{2} = \boldsymbol{O} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A} (\boldsymbol{B} – \boldsymbol{A}) + \boldsymbol{B}( \boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{O} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A} (\boldsymbol{B} – \boldsymbol{A}) – \boldsymbol{B}( \boldsymbol{B} – \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{O} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B} )(\boldsymbol{B} – \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{O} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ -(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{2} = \boldsymbol{O} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{2} = \boldsymbol{O}
\end{aligned}
$$

A 选项

由于：

$$
\begin{aligned}
(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{3} & = (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{2} \cdot (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \\ \\
& = \boldsymbol{O} \cdot (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \\ \\
& =\boldsymbol{O}
\end{aligned}
$$

所以，A 选项正确.

B 选项

首先，由 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{O}$ 可知，$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{2}$ 只有零特征值.

接着，设 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})$ 的特征值为 $\lambda$，则 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{2}$ 的特征值 $\lambda^{2}=0$，即 $\lambda = 0$, 因此 $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 也只有零特征值，B 选项正确.

C 选项

若 $\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}$ 都是对角矩阵，则 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ 也为对角阵.

同时，要使对角矩阵的平方为零矩阵，则该对角矩阵自身为必须是零矩阵，即：

$$
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B} = \boldsymbol{O}
$$

但是：

$$
\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{B}
$$

所以：

$$
\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}
$$

因此，$\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}$ 不能都是对角阵，C 选项正确.

D 选项

设 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{C}^{2}=\boldsymbol{O}$, 但是，$\boldsymbol{C}$ 的线性无关特征向量个数不一定为 $1$, 例如：

$$
\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

可知 $\boldsymbol{C}^{2} = \boldsymbol{O}$, 但是 $\boldsymbol{C}$ 有 $2$ 个线性无关的特征向量，D 选项说法错误，因此，本题应选 D.

如果不通过举特例的方法判断 D 选项，也可以通过下面的解法判断：

$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{2} = O \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{r}(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}) \leqslant 3
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\boldsymbol{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{r}(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})
$$

所以 $\boldsymbol{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})$ $=$ $0$, 或者 $\boldsymbol{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})$ $=$ $1$.

又因为：

$$
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}
$$

所以：

$$
\boldsymbol{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}) \neq 0
$$

因此：

$$
\boldsymbol{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}) = 1
$$

从而可知，矩阵 $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 线性无关的特征向量的个数一定为 $2$, 因为：

$$
n – \boldsymbol{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}) = 2
$$

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