一、题目
设 $y_{1} \left( x \right)$, $y_{2} \left( x \right)$ 是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\lambda$, $\mu$ 使得 $2\lambda y_{1} \left( x \right) + \mu y_{2} \left( x \right)$ 是该方程的解，$\lambda y_{1} \left( x \right) – 2\mu y_{2} \left( x \right)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
»A« $\lambda = \frac{1}{5}$, $\mu = \frac{2}{5}$
»B« $\lambda = \frac{2}{5}$, $\mu = \frac{1}{5}$
»C« $\lambda = \frac{1}{4}$, $\mu = \frac{1}{2}$
»D« $\lambda = \frac{1}{2}$, $\mu = \frac{1}{4}$
二、解析
由线性微分方程解的叠加原理可知，要使 $2 \lambda y_{1} \left( x \right) + \mu y_{2} \left( x \right)$ 成为非齐次微分方程的解，则 $y_{1} \left( x \right)$ 和 $y_{2} \left( x \right)$ 的系数必须满足下面的关系式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
2 \lambda + \mu = 1
} \tag{1}
$$
同样的，由线性微分方程解的叠加原理可知，要使 $\lambda y_{1} \left( x \right) – 2\mu y_{2} \left( x \right)$ 成为齐次微分方程的解，则 $y_{1} \left( x \right)$ 和 $y_{2} \left( x \right)$ 的系数必须满足下面的关系式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\lambda – 2\mu = 0
} \tag{2}
$$
联立上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，可得：
$$
\textcolor{springgreen}{ \mu = \frac{1}{5} }, \ \textcolor{springgreen}{ \lambda = \frac{2}{5} }
$$
综上可知，本 题 应 选 B 
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