2026年考研数二第01题解析：等价无穷小

一、题目

二、解析

由题及常用的等价无穷小公式可知，当 $x \rightarrow 0$ 时, 有：

$$
\sqrt[3]{1 + x^{2}} – 1 = \left( 1 + \textcolor{lightgreen}{x^{2}} \right) ^{ \textcolor{pink}{ \frac{1}{3} }} \sim \textcolor{pink}{\frac{1}{3}} \textcolor{lightgreen}{ x^{2} }
$$

$$
\begin{aligned}
a x^{2} + b x + \textcolor{orangered}{ \arcsin x } & = a x^{2} + b x + \textcolor{orangered}{x} + o \left( x^{2} \right) \\ \\
& = \left( b + 1 \right) x + a x^{2} + o \left( x^{2} \right)
\end{aligned}
$$

又因为，当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^{2} + b x + \arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1 + x^{2}} – 1$ 为等价无穷小，所以：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( b + 1 \right) x + a x^{2} + o \left( x^{2} \right) \sim \frac{1}{3} x^{2} \sim 0 x + \frac{1}{3} x^{2}
}
$$

或者说：

$$
\textcolor{yellow}{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left( b + 1 \right) x + a x^{2} + o \left( x^{2} \right)}{0 x + \frac{1}{3} x^{2}} = 1
}
$$

因此可知：

$$
\begin{cases} b + 1 = 0 \\ a = \frac{1}{3} \end{cases} \leadsto \begin{cases} \textcolor{springgreen}{ b = – 1 } \\ \textcolor{springgreen}{ a = \frac{1}{3} } \end{cases}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

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