2020年考研数二第02题解析：函数间断点、第二类函数间断点

一、题目

二、解析

由 $f(x)$ 的表达式 $f(x)$ $=$ $\dfrac{\textcolor{magenta}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}} \textcolor{#00bffe}{\ln |1+x|} }{ \textcolor{orange}{(\mathrm{e}^x – 1)} \textcolor{pink}{(x – 2)}}$ 可知，

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} } \leadsto x-1 \neq 0 \leadsto \textcolor{lightgreen}{x \neq 1} \\ \\
& \textcolor{#00bffe}{ \ln |1+x| } \leadsto 1+x \neq 0 \leadsto \textcolor{lightgreen}{x \neq -1} \\ \\
& \textcolor{orange}{ \left( \mathrm{e}^{x} – 1 \right) } \leadsto \textcolor{lightgreen}{ x \neq 0 } \\ \\
& \textcolor{pink}{ \left( x-2 \right) } \leadsto x – 2 \neq 0 \leadsto \textcolor{lightgreen}{ x \neq 2 }
\end{aligned}
$$

因此可知，函数 $f(x)$ 共有四个间断点，分别为：

$$
\begin{cases}
& x = -1; \\
& x = 0; \\
& x = 1; \\
& x = 2.
\end{cases}
$$

于是，根据函数第二类间断点的定义，分别验证可知：

• $x = -1$

由于 $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\ln |1+x| }{(\mathrm{e}^x – 1)(x – 2)}$ $=$ $\infty$，因此 $x = -1$ 为第二类函数间断点；

$\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$.

• $x = 0$

由于 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln(1+x)}{(\mathrm{e}^x – 1)(x – 2)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \cdot x}{x(x – 2)}$ $=$ $\dfrac{-1}{2 \mathrm{e}}$，因此 $x = 0$ 为可去函数间断点；

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$.

• $x = 1$

由于 $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\ln |1+x| }{(\mathrm{e}^x – 1)(x – 2)}$ $=$ $\dfrac{\mathrm{e}^{+ \infty} \cdot \ln 2}{1 – \mathrm{e}}$ $=$ $\infty$，$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\ln |1+x| }{(\mathrm{e}^x – 1)(x – 2)}$ $=$ $\dfrac{\mathrm{e}^{- \infty} \cdot \ln 2}{1 – \mathrm{e}}$ $=$ $0$, 因此 $x = 1$ 为第二类函数间断点；

• $x = 2$

由于 $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\ln |1+x| }{(\mathrm{e}^x – 1)(x – 2)}$ $=$ $\infty$，因此 $x = 2$ 为第二类函数间断点.

$\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$.

综上可知，本 题 应 选 C

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