tan(arccos x) 等于多少？

一、结论

首先给出结论：

$$
\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 – x ^{2}}}{x}
$$

接下来「荒原之梦考研数学 – zhaokaifeng.com」网将给出对上述结论的详细证明。

二、证明

本文的证明过程与《$\tan (\arcsin x)$ 等于多少？》这篇文章的证明思路基本一样。

由于：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\tan (\arccos x)} \\ \\
= & \frac{\sin (\arccos x)}{\cos (\arccos x)} \\ \\
= & \frac{\sin (\arccos x)}{x} \\ \\
= & \frac{\sqrt{1 – \cos ^{2} (\arccos x)}}{x} \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{\sqrt{1 – x ^{2}}}{x}}}
\end{aligned}
$$

由《$\cos( \arcsin x)$ 和 $\sin ( \arccos x)$ 等于多少？》这篇文章可知，$\cos (\arcsin x)$ $=$ $\sin ( \arccos x)$ $=$ $\sqrt{1 – x^{2}}$, 而且，由 $y$ $=$ $\sin (\arccos x)$ 的函数图像可知（如图 01 所示），$\sin (\arccos x)$ 是大于等于零的，因此，不存在 $\sin (\arccos x)$ $=$ $- \sqrt{1 – x ^{2}}$ 的可能性，也不存在 $\tan (\arccos x)$ $=$ $\frac{- \sqrt{1 – ^{2}}}{x}$ 这个式子，更不存在 $\tan (\arccos x)$ $=$ $\frac{\pm \sqrt{1 – ^{2}}}{x}$ 这个式子。

事实上，从函数图象来看，函数 $y$ $=$ $\tan (\arccos x)$ （橙 色 粗 线） 与 $y$ $=$ $\frac{\sqrt{1 – x^{2}}}{x}$ （黑 色 虚 线） 的函数图象是完全相同（重合）的：

---