一、题目
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x )$, $\beta ( x )$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：
① 若 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$, 则 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$;
② 若 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$;
③ 若 $\alpha ( x ) \sim \beta ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $-$ $\beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$;
④ 若 $\alpha ( x ) – \beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$.
其中所有真命题的序号是（ ）
(A) ① ③
(B) ① ④
(C) ① ③ ④
(D) ② ③ ④
难度评级：
二、解析 
命题 ①
命题原文：若 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$, 则 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$
由 $\alpha (x) \sim \beta (x)$ 可得：
$$
\frac{\alpha (x)}{\beta (x)} = 1
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
\frac{\alpha ^{2} (x)}{\beta ^{2} (x)} \\ \\
& = \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} \cdot \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} \\ \\
& = 1 \cdot 1 \\ \\
& = 1
\end{aligned}
$$
也就是说：
$$
\alpha ^{2} (x) \sim \beta ^{2} (x)
$$
所以可知，命 题 ① 正 确 。
命题 ②
命题原文：若 $\alpha ^ { 2 } ( x )$ $\sim$ $\beta ^ { 2 } ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$
根据 $\alpha ^{2} (x) \sim \beta ^{2} (x)$, 我们既可以得到如下结论：
$$
\begin{aligned}
\frac{\alpha ^{2} (x)}{\beta ^{2} (x)} = 1 \\ \\
& \Rightarrow \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} \cdot \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} \\ \\
& \Rightarrow 1 \cdot 1 \\ \\
& = 1
\end{aligned}
$$
也可以得到：
$$
\begin{aligned}
\frac{\alpha ^{2} (x)}{\beta ^{2} (x)} = 1 \\ \\
& \Rightarrow \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} \cdot \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} \\ \\
& \Rightarrow \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right) \\ \\
& = 1
\end{aligned}
$$
所以，命 题 ② 不 正 确 。
当然，我们也可以通过举特例的方式证明该命题不正确：
反例一：虽然 $\lim_{x \to 0} \frac{\left( e ^{-x} \right) ^{2}}{\left( – e ^{-x} \right) ^{2}}$ $=$ $1$, 但是，很显然 $\left( e ^{-x} \right) ^{2}$ 和 $\left( – e ^{-x} \right) ^{2}$ 在 $x \rightarrow 0$ 的时候不等价；
反例二：虽然 $\lim_{x \to 0} \frac{\left( x \right) ^{2}}{\left( – x \right) ^{2}}$ $=$ $1$, 但是，很显然 $x$ 和 $-x$ 在 $x \rightarrow 0$ 的时候不等价。
命题 ③
命题原文：若 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$, 则 $\alpha ( x )$ $-$ $\beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$
由于：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} = 1
$$
且：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\beta (x)}{\beta (x)} = 1
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{\alpha (x)}{\beta (x)} – \lim_{x \to 0} \frac{\beta (x)}{\beta (x)} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha (x) – \beta (x)}{\beta (x)} \\ \\
& = 1 – 1 \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$
所以，当 $x \to 0$ 的时候，$\alpha (x)$ $-$ $\beta (x)$ 是 $\beta (x)$ 的高阶无穷小，又由于 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 等价，所以，$\alpha (x)$ $-$ $\beta (x)$ 也就是 $\alpha (x)$ 的等价无穷小，即：
$$
\alpha (x) – \beta (x) = o \left( \alpha (x) \right)
$$
所以可知，命 题 ③ 正 确 。
命题 ④
命题原文：若 $\alpha ( x ) – \beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$, 则 $\alpha ( x )$ $\sim$ $\beta ( x )$
由 $\alpha ( x ) – \beta ( x )$ $=$ $o ( \alpha ( x ) )$, 可得：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\alpha (x) – \beta (x)}{\alpha (x)} = 0
$$
即：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{\alpha (x)}{\alpha (x)} – \lim_{x \to 0} \frac{\beta (x)}{\alpha (x)} \\ \\
& = 1 – \lim_{x \to 0} \frac{\beta (x)}{\alpha (x)} \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$
所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\beta (x)}{\alpha (x)} = 1
$$
于是可知，此时 $\alpha (x)$ 和 $\beta (x)$ 是等价无穷小。
所以可知，命 题 ④ 正 确 。
综上可知，本 题 应 选 C 
三、总结
我们知道无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小，但是，一般情况下，由于加减运算相比乘除运算更弱一些, 所以，我们不能说一个无穷小减去另一个无穷小一定会产生一个更高阶的无穷小。
但是，通过对本题命题 ③ 和命题 ④ 的计算可知：
[1]. 两个等价无穷小相减一定会产生一个更高阶的无穷小；
[2]. 能够相减产生更高阶无穷小的两个无穷小也一定是等价无穷小。