若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换

一、题目

难度评级：

二、解析

首先，如果被积函数只是由 $e^x$ 以及一些数字、四则运算等组成，那么，我们可以根据$e^x$ 相关运算技巧这篇文章中的例子和思路，通过对被积函数做一些变形等操作的方式，寻找解题方式。

但是，如果被积函数是像本题这样的，除了含有 $e^x$, 还含有三角函数，那么，我们首先能想到和使用的解题思路就应当是对 $e^x$ 做整体替换。

于是，令 ${\mathrm{e}}^x=t$, 则有：

$$\{\begin{array}{l}x=\ln t\\ \\ \mathrm{d}x=\frac{1}{t}\mathrm{d}t\end{array}$$

因此：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\frac{\arctan e^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{d}x\\ \\ & =\int \frac{\arctan t}{t^2}\cdot \frac{1}{t}\mathrm{d}t\\ \\ & =\int \frac{\arctan t}{t^3}\mathrm{d}t\\ \\ & =–\frac{1}{2}\int \arctan t\mathrm{d}\left(t^{–2}\right)\\ \\ & =–\frac{1}{2}[\frac{\arctan t}{t^2}–\int \frac{\mathbf{1}}{{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}(\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}})}\mathrm{d}t]\\ \\ & =–\frac{1}{2}[\frac{\arctan t}{t^2}–\int \left(\frac{\mathbf{1}}{{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}–\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}\right)\mathrm{d}t]\\ \\ & =–\frac{1}{2}(\frac{\arctan t}{t^2}+\frac{1}{t}+\arctan t)+C\\ \\ & \stackrel{t=e^x}{=}–\frac{1}{2}(\frac{\arctan {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}+{\mathrm{e}}^{–x}+\arctan {\mathrm{e}}^x)+C\end{array}$$

其中，$C$ 为任意常数

Note

上面由式子 $\frac{\mathbf{1}}{{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}(\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}})}$ 变为式子 $\frac{\mathbf{1}}{{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}–\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}$ 的过程如果做题熟练了可以直接看出来，如果看不出来，可以借助不定积分中常用的待定系数法（原理 | 例题）计算即可。

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