当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组

一、题目

A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$

B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TD
    A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
    D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
    C --> G;
    G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]

二、解析

首先，对题目已知条件 $( \boldsymbol { A } – 2 \boldsymbol { E } ) \boldsymbol { \alpha }$ $=$ $0$ 变形，可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol { A } \boldsymbol { \alpha } = 2 \boldsymbol { \alpha }
}
$$

Tip

显然，上面的式子不满足 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的形式，因此，我们需要继续求解其他的特征值和特征向量。

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于是可知 $\lambda _ { 1 }$ $=$ $2$ 是矩阵 $\boldsymbol { A }$ 的一个特征值，且对应的特征向量为：

$$
\boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = \boldsymbol { \alpha } = ( – 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }
$$

又由于 $\boldsymbol { A }$ 是实对称矩阵，且其秩 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $1$, 因此，根据实对称矩阵的性质，$3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 一定有 $3-1=2$ 个为零的特征值，即：

$$
\begin{cases}
\lambda _ { 2 } = 0 \\
\lambda _ { 3 } = 0
\end{cases}
$$

Tip

由于特征值为 $0$, 根据特征值和特征向量的关系式，我们有 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { \beta } _ { 2 }$ $=$ $\lambda_{2}$ $=$ $0$, 以及 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { \beta } _ { 3 }$ $=$ $\lambda_{3}$ $=$ $0$, 这就满足了题目要求解的 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的形式，从而 $\boldsymbol { \beta } _ { 2 }$ 和 $\boldsymbol { \beta } _ { 3 }$ 就是我们要找的基础解系。

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若设 $\lambda _ { 2 }$ 和 $\lambda _ { 2 }$ 对应的特征向量为 $\boldsymbol { \beta }$ $=$ $\left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } \right) ^ { \mathrm {\top} }$, 则根据实对称阵不同的特征值对应的特征向量必正交的定理，有：

$$
\boldsymbol { \beta } ^ { \mathrm {\top} } \boldsymbol { \alpha } = 0 \Rightarrow
$$

$$
(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
– x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
x_{1} = 1 \\
x_{2} = 1 \\
x_{3} = 0
\end{cases} \text{ 或者 } \begin{cases}
x_{1} = 1 \\
x_{2} = 0 \\
x_{3} = 1
\end{cases}
$$

即：

$$
\begin{cases}
& \boldsymbol { \beta } _ { 2 } = ( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } \\ \\
& \boldsymbol { \beta } _ { 3 } = ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }
\end{cases}
$$

Warning

根据前面的分析可知，到这一步我们已经可以结束计算了，如果是真实考试中，只要前面的计算没有错误，接下来的步骤就不需要进行了，下面的步骤只是做进一步的验证。

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将 $\lambda_{2}$ $=$ $0$ 和 $\boldsymbol { \beta } _ { 2 }$ $=$ $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 代入特征向量的求解公式 $(\lambda E – A)x$ $=$ $0$, 得：

$$
\begin{aligned}
( 0 E – \boldsymbol { A } ) \boldsymbol { \beta } _ { 2 } = 0 \\
& \Rightarrow – \boldsymbol { A } \boldsymbol { \beta } _ { 2 } = 0 \\
& \Rightarrow \boldsymbol { A } \boldsymbol { \beta } _ { 2 } = 0
\end{aligned}
$$

将 $\lambda_{3}$ $=$ $0$ 和 $\boldsymbol { \beta } _ { 3 }$ $=$ $( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 代入特征向量的求解公式 $(\lambda E – A)x$ $=$ $0$, 得：

$$
\begin{aligned}
( 0 E – \boldsymbol { A } ) \boldsymbol { \beta } _ { 3 } = 0 \\
& \Rightarrow – \boldsymbol { A } \boldsymbol { \beta } _ { 3 } = 0 \\
& \Rightarrow \boldsymbol { A } \boldsymbol { \beta } _ { 3 } = 0
\end{aligned}
$$

因此 $A \boldsymbol { x }$ $=$ $\mathbf { 0 }$ 的基础解系为：

$$
\begin{cases}
( 1 , 1 , 0 ) ^ { \top } \\
( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }
\end{cases}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

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