2024年考研数二第06题解析:绘制积分区域,变换积分次序

一、题目题目 - 荒原之梦

设 $f(x, y)$ 是连续函数, 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{~d} y=(\quad)$

(A) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{~d} x$

(B) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{~d} x$

(C) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{~d} x$

(D) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{~d} x$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察题目可知,本题是一个二重积分,题目中给出的式子是先对 $y$ 积分,后对 $x$ 积分,选项中的式子是先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分,因此,本题考察的就是变换二重积分的积分次序。

由题可知,积分区域 $D$ 为:

$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., \ \sin x \leq y \leq 1\right\}
$$

如图 01 和图 02 所示,红色区域表示 $\sin x \leq y \leq 1$, 蓝色区域就是积分区域 $D$:

2024年考研数二第06题解析:绘制积分区域,变换积分次序 | 荒原之梦考研数学
图 01.
2024年考研数二第06题解析:绘制积分区域,变换积分次序 | 荒原之梦考研数学
图 02.

于是,为了变换积分次序,我们可以将积分区域 $D$ 等价表示为:

$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{6} \leq x \leq \arcsin y\right., \ \frac{1}{2} \leq y \leq 1\right\}
$$

于是:

$$
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y =
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x
}
$$

综上可知,本题应选 A .


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress