2023年考研数二第20题解析：极坐标系二重积分

一、题目

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x^{2}+y^{2}-x y=1$, $\ x^{2}+y^{2}-x y=2$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$, $\ y=0$ 围成, 计算 $\iint_{D} \frac{1}{3 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.

难度评级：

二、解析

本题适合采用极坐标系进行计算。

同时，在本题中，$x^{2}+y^{2}-x y=1$ 和 $x^{2}+y^{2}-x y=2$ 都是椭圆，但在实际的做题过程中，我们绘制示意图的时候，只需要看作圆形处理即可——如果可以通过题目所给条件确定大致的积分区域 $D$, 也可以不绘图。

本题的示意图如下：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
& x = r \cos \theta \\ \\
& y = r \sin \theta
\end{cases} \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
& x^{2}+y^{2}-x y=1 \\ \\
& x^{2}+y^{2}-x y=2
\end{cases} \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
& r_{1}^{2}-r_{1}^{2} \sin \theta \cos \theta=1 \\ \\
& r_{2}^{2}-r_{2}^{2} \sin \theta \cos \theta=2
\end{cases} \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
& r_{1}^{2}=\frac{1}{1-\sin \theta \cos \theta} \\ \\
& r_{2}^{2}=\frac{2}{1-\sin \theta \cos \theta}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

又由 $y=\sqrt{3} x$ 可知, 在极坐标系中, $\theta$ 的取值范围为：

$$
\theta \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)
$$

$r$ 的取值范围为：

$$
r \in \left( \sqrt{ \frac{1}{1-\sin \theta \cos \theta} }, \ \sqrt{ \frac{2}{1-\sin \theta \cos \theta} } \right)
$$

进而：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \iint_{D} \frac{1}{3 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ \\
& = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\sqrt{\frac{1}{1-\sin \theta \cos \theta}}}^{\sqrt{ \frac{2}{1-\sin \theta \cos \theta}}} \frac{1}{r^{2}\left(3 \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)} r \mathrm{~d} r \\ \\
& = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3 \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta \int_{\sqrt{\frac{1}{1-\sin \theta \cos \theta}}}^{\sqrt{\frac{2}{1-\sin \theta \cos \theta}}} \frac{1}{r} \mathrm{~d} r \\ \\
& = \ln \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3 \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \ln \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}}{3+\tan ^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \ln \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3+\tan ^{2} \theta} \mathrm{~d} (\tan \theta) \\ \\
& = \frac{\sqrt{3} \ln \sqrt{2}}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}\right)^{2}} \mathrm{~d} \left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}\right) \\ \\
& = \left.\frac{\sqrt{3} \ln \sqrt{2}}{3} \arctan \left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{3}} \\ \\
& = \frac{\sqrt{3} \ln \sqrt{2}}{3}\left(\frac{\pi}{4}-0\right) \\ \\
& = \frac{\sqrt{3} (\frac{1}{2} \ln 2)}{3} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3} (\ln 2)}{24} \cdot \pi
\end{aligned}
$$

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