怎么判断经过四则运算之后的解还是不是原线性方程组的解？

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2$ 是非齐次线性方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{b}$ 的两个不同的解，那么，下面仍是线性方程组 $Ax=b$ 特解的有哪些？

$${\mathit{\alpha }}_1-{\mathit{\alpha }}_2,3{\mathit{\alpha }}_1-2{\mathit{\alpha }}_2,\frac{1}{3}({\mathit{\alpha }}_1+2{\mathit{\alpha }}_2),\frac{1}{2}({\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2)$$

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二、解析

已知：

$$A{\alpha }_1=bA{\alpha }_2=b$$

又：

$$A({\alpha }_1-{\alpha }_2)=A\cdot 0=0$$

$$A(3{\alpha }_1-2{\alpha }_2)=3b-2b=b$$

$$A\frac{1}{3}({\alpha }_1+2{\alpha }_2)=\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}b=b$$

$$A\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}b=b$$

于是可知，$3{\mathit{\alpha }}_1-2{\mathit{\alpha }}_2$, $\frac{1}{3}({\mathit{\alpha }}_1+2{\mathit{\alpha }}_2)$, $\frac{1}{2}({\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2)$ 都是线性方程组 $Ax=b$ 的特解。