1988 年考研数二真题解析

前言

在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二 1988 年的真题。

注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干。

(1) 设 $f (x) = {\begin{cases} 2 x + a, & x ⩽ 0 \\ e^{x} (\sin x + \cos x), & x > 0 \end{cases}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内连续, 则 $a = ?$

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x} (\sin x + \cos x) = lim_{x \to 0} (2 x + a) \Rightarrow$

$a = 1$

(2) 设 $f (t) = lim_{x \to \infty} t {(1 + \frac{1}{x})}^{2 t x}$ , 则 $f^{'} (t) = ?$

$f (t) = lim_{x \to \infty} t {(1 + \frac{1}{x})}^{2 t x} \Rightarrow$

$f (t) = t \cdot lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x \cdot 2 t} \Rightarrow$

$f (t) = t e^{2 t} \Rightarrow f^{'} (t) = e^{2 t} + 2 t e^{2 t}$

(3) 设 $f (x)$ 连续, 且 $\int_{0}^{x^{3} - 1} f (t) d t = x$ , 则 $f (7) = ?$

${[\int_{0}^{x^{3} - 1} f (t) d t = x]}_{x}^{'} \Rightarrow 3 x^{2} f (x^{3} - 1) = 1 \Rightarrow$

由于当 $x = 2$ 时， $x^{3} - 1 = 7$ , 因此，令 $x = 2$ :

$12 f (7) = 1 \Rightarrow f (7) = \frac{1}{12}$

(4) $lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{\tan x} = ?$

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{\tan x} = lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{- \tan x}{2}} =$

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{- \tan x}{2} \ln x}$

其中：

$lim_{x \to 0^{+}} (\frac{- \tan x}{2} \ln x) =$

变形：

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \ln x}{2 / \tan x} \Rightarrow$

洛必达运算：

$\frac{- 1 / x}{2 \cdot (\frac{- 1}{\cos^{2} x}) / (\tan x)^{2}} =$

$\frac{\frac{- 1}{x}}{2 \cdot \frac{- 1}{\cos^{2} x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}$

$\frac{\frac{- 1}{x}}{\frac{- 2}{\sin^{2} x}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sin x}{2} = \frac{x}{2}$

于是：

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{x}{2}} = e^{0} = 1$

(5) $\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}} d x = ?$

令：

$t = \sqrt{x} \Rightarrow t \in (0, 2) \Rightarrow x = t^{2} \Rightarrow d x = 2 t d t$

于是：

$\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}} d x = \int_{0}^{2} e^{t} 2 t d t = 2 \int_{0}^{2} t e^{t} d t \Rightarrow$

又：

${(t e^{t} - e^{t})}^{'} = e^{t} + t e^{t} - e^{t} = t e^{t} \Rightarrow$

于是：

$2 \int_{0}^{2} t e^{t} d t = 2 \cdot (t e^{t} - e^{t}) |_{0}^{2} =$

$2 [(2 e^{2} - e^{2}) - (0 - 1)] = 2 (e^{2} + 1)$

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