2013年考研数二第08题解析

题目

矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& b& a\\ 1& a& 1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为 $?$

$$A.a=0,b=2$$

$$B.a=0,b\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{常}\mathrm{数}$$

$$C.a=2,b=0$$

$$D.a=2,b\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{常}\mathrm{数}$$

解析

矩阵相似则秩相等，但是，对于本题而言，使用秩相等并无法得出结论。因此，这条解题思路走不通。

又由于矩阵相似则特征值相同，因此，我们可以在特征值上着手分析。而且，观察可知，题目中给出的两个矩阵均为实对称阵，因此，我们还可以利用一些实对称矩阵的性质。

接着，根据“前充分后必要”的规则，我们先分析“矩阵相似”与“特征值相同”之间的【充分性】：

根据定理，矩阵相似，则特征值相同，因此，充分性成立。

再来分析“矩阵相似”与“特征值相同”之间的【必要性】：

若特征值相同，则由特征值组成的对角矩阵相同。又因为，所有实对称矩阵都能够相似对角化，也就是所有是对称矩阵都相似于一个且只相似于一个对角矩阵并且这个对角矩阵主对角线上的元素就是这个是实对称矩阵的特征值。

于是，我们知道，只要题目中的两个矩阵特征值相同，则这两个矩阵就相似于同一个对角矩阵，再根据矩阵相似的传递性可知，这两个是对称矩阵是相似的，必要性成立。

综上，只要题目中的两个实对称矩阵有相同的特征值，则就具备了让这两个实对称矩阵相似的充要条件。

设：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& b& a\\ 1& a& 1\end{array}\right];$$

$$B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$$

则可知，矩阵 $B$ 的特征值为 $0$, $2$, $b$.

注意：不要忘记 $B$ 的为 $0$ 的特征值。

又：

$$|\lambda E–A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda –1& -a& -1\\ -a& \lambda –b& -a\\ -1& -a& \lambda –1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\lambda [(\lambda –2)(\lambda –b)–2a^2]=0.\mathrm{①}$$

若要使 $A$ 与 $B$ 相似，则必须有：

$$\lambda =0,2,b.$$

在 $\lambda =0,2,b$ 的前提下，若要 $\mathrm{①}$ 式成立，则必须有：

$$a=0.$$

其中，$b$ 没有被施加限制，可以是任意常数。

通过上述方法能够解出答案，但是，如果找一个特殊的 $\lambda$ （一般是非零常数，这样才有意义）代入 $|\lambda E–A|=0$ 中，计算过程会更加简单清晰一些。

在本题中，可以将 $\lambda =2$ 代入 $|\lambda E–A|=0$ 中，于是有：

$$|2E–A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -a& -1\\ -a& 2-b& -a\\ -1& -a& 1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(2-b)–a^2–a^2–(2-b)–a^2–a^2=0\Rightarrow$$

$$-4a^2=0\Rightarrow$$

$$a=0.$$

其中，$b$ 没有被施加限制，可以是任意常数。

综上可知，正确选项为 $B$.

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