2013年考研数二第02题解析

题目

设函数 $y=f(x)$ 是由方程 $\cos (xy)+\ln y–x=1$ 确定，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(\frac{2}{n})–1]=?$

$$A.2$$

$$B.1$$

$$C.-1$$

$$D.-2$$

解析

本题是关于隐函数的，涉及【隐函数】的题目一般都【需要】进行【求导】，这是这类题目解题思路上的一个突破口。

由于，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，有：

$$\frac{2}{n}\to 0.$$

则在 $x\to 0$ 的情况下，通过式子 $\cos (xy)+\ln y–x=1$ 求出来的 $y$ 的取值就是 $\frac{2}{n}\to 0$ 的情况下，$f(\frac{2}{n})$ 的取值，也是 $f(0)$ 的取值。

将 $x=0$ 带入 $\cos (xy)+\ln y–x=1$, 得：

$$1+\ln y=1\Rightarrow$$

$$\ln y=0\Rightarrow y=1.$$

即：

$$f(\frac{2}{n})=f(0)=1.$$

又知函数在点 $x=x_0$ 处的导数的定义公式为：

$$f^{‘}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}.$$

于是：

$$f^{‘}(0)=\underset{\frac{2}{n}\to 0}{lim}\frac{f(\frac{2}{n})–f(0)}{\frac{2}{n}}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}\underset{\frac{2}{n}\to 0}{lim}n[f(\frac{2}{n})–f(0)].$$

因此，我们只需要求出 $f^{‘}(0)$ 即可算出答案。

在式子 $\cos (xy)+\ln y–x=1$ 两边同时对 $x$ 求导，得：

$$-\sin (xy)(y+x\frac{dy}{dx})+\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}–1=0\Rightarrow$$

把 $x=0$, $y=1$ 带入上式，得：

注意：由于我们要的是 $f^{‘}(0)$ 而不是 $f^{‘}(x)$, 因此，这里可以先代入数值，能求出 $f^{‘}(0)$ 即可，这样可以简化运算。

$$\frac{dy}{dx}–1=0\Rightarrow$$

$$\frac{dy}{dx}=1.$$

即：

$$f^{‘}(0)=1.$$

即：

$$\frac{1}{2}\underset{\frac{2}{n}\to 0}{lim}n[f(\frac{2}{n})–f(0)]=1.$$

于是：

$$\underset{\frac{2}{n}\to 0}{lim}n[f(\frac{2}{n})–f(0)]=2\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n[f(\frac{2}{n})–1]=2.$$

综上可知，正确选项为 $A$.

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