2014年考研数二第13题解析

题目

一根长为 $1$ 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho (x)=–x^2+2x+1$, 则该细棒的质心坐标 $\overline{x}=?$

解析

由题可知，要求质心坐标的其实就是一条位于 $x$ 轴上 $[0,1]$ 区间内的“直线”，因此，它的质心坐标只有 $\overline{x}$, 没有 $\overline{y}$.

又知：

$$\overline{x}=\frac{{\int }_{L}x\rho ds}{{\int }_L\rho ds}.$$

通常情况下：

$$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}.$$

但在本题中，细棒是直接位于 $x$ 轴上的，因此：

$$ds=dx.$$

于是：

$$\overline{x}=\frac{{\int }_{L}x\rho dx}{{\int }_L\rho dx}.$$

又：

$${\int }_L\rho dx=$$

$${\int }_0^1(-x^2+2x+1)dx=$$

$$-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x{|}_0^1=$$

$$\frac{5}{3}.$$

$${\int }_{L}x\rho dx=$$

$${\int }_0^1(-x^3+2x^2+x)dx=$$

$$-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2{|}_0^1=$$

$$\frac{11}{12}.$$

于是：

$$\overline{x}=\frac{11}{12}\cdot \frac{3}{5}=$$

$$\frac{11}{20}.$$

综上可知，正确答案为 $\frac{11}{20}$.

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