题目
编号：A2016214
设矩阵 $\begin{bmatrix} a& -1& -1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{bmatrix}$ 等价，则 $a = ?$
解析
设：
$$A=\begin{bmatrix} a& -1& -1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{bmatrix}$$
则由 $A \sim B$ 可知：
$$r(A) = r(B).$$
又：
$$B=\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{bmatrix}=$$
$$\begin{bmatrix} 1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{bmatrix}=$$
$$\begin{bmatrix} 1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{bmatrix}.$$
故：
$$r(B) = 2.$$
即：
$$r(A) = 2$$
且：
$$|A|=0.$$
又：
$$\begin{vmatrix} a& -1& -1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{vmatrix}=$$
$$\begin{vmatrix} a-2& a-2& a-2\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{vmatrix}=$$
$$(a-2)\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{vmatrix}=$$
$$(a-2)\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 0& a+1& 0\\ 0& 0& a+1\end{vmatrix}$$
即有：
$$(a-2)\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 0& a+1& 0\\ 0& 0& a+1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow$$
$$(a-2)(a+1)^{2} = 0 \Rightarrow$$
$$a=2 或 a=-1.$$
又 $a=-1$ 时，$r(A) = 1 \neq 2$, 所以：
$$a=2.$$
综上可知，正确答案为 $2$.
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