2026年考研数二第18题解析：分段函数的导数与连续性

一、题目

已知函数 $g(x)$ 连续. 设 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x^{2}} g(xt) \mathrm{~d} t$, 求 $f ^{\prime} (x)$ 的表达式，并判断 $f ^{\prime} (x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.

二、解析

求 $f ^{\prime} (x)$ 的表达式

在下面的计算过程中，需要注意的是，当 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x^{2}} g(xt) \mathrm{~d} t$ 的时候，函数的自变量是 $t$, 当进行了 $u=xt$ 这个代换之后，函数的自变量就变成了 $u$, 此时 $t = \frac{1}{x} u$, 其中 $\frac{1}{x}$ 是一个常数，所以 $\mathrm{d} t = \frac{1}{x} \mathrm{~d} u$.

根据《彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系》这篇讲义可知，由于我们不确定函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是否连续，所以也就不知道函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是否可导，因此，我们不能在 $(- \infty, + \infty)$ 这整个区间上求解 $f(x)$ 的导数 $f ^{\prime} (x)$, 而应该先求解 $x \neq 0$ 时 $f(x)$ 的导数，再求解 $x = 0$ 时 $f(x)$ 的导数，即：

当 $x \neq 0$ 时，先进行代换：

$$
\begin{aligned}
f(x) & = \int_{0}^{x^{2}} g(xt) \mathrm{~d} t \\ \\
& \xlongequal{u=xt} \int_{0}^{x^{3}} g(u)\frac{1}{x} \mathrm{~d} u \\ \\
& = \frac{1}{x}\int_{0}^{x^{3}} g(u) \mathrm{~d} u
\end{aligned}
$$

接着，根据分式求导公式 $\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime}}{v^{2}}$, 对 $f(x) = \frac{1}{x}\int_{0}^{x^{3}} g(u) \mathrm{~d} u$ 求导，得：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x) & = \frac{g(x^{3})3x^{2} \cdot x – \int_{0}^{x^{3}} g(u)du}{x^{2}} \\ \\
& = 3x \cdot g(x^{3}) – \frac{\int_{0}^{x^{3}} g(u)du}{x^{2}}
\end{aligned}
$$

不进行上面 $u = xt$ 的代换也可以求解本题，但是这样会导致式子中一直存在 $x$ 和 $t$ 这两个看上去都像是自变量的字母，需要我们时刻注意分辨，会显著增加计算的复杂度，并极易导致计算出错.

当 $x=0$ 时，由一点处导数的定义，得：

$$
f ^{\prime} (0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0}\frac{\int_{0}^{x^{3}} g(u) \mathrm{~d} u}{x^{2}} = 0
$$

综上可知：

$$
f ^{\prime} (x)=\begin{cases} 3x \cdot g(x^{3}) – \frac{\int_{0}^{x^{3}} g(u) \mathrm{~d} u}{x^{2}} & x \neq 0, \\ 0, & x=0. \end{cases}
$$

其中，$u=xt$.

判断 $f ^{\prime} (x)$ 在 $x=0$ 处的连续性

由于函数 $g(x)$ 连续，所以极限 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 和极限 $\lim_{x \to 0} g(x^{3})$ 都存在（为常数），又因为：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} f ^{\prime} (x) & = \lim_{x \to 0} \left[ 3x \cdot g(x^{3}) – \frac{\int_{0}^{x^{3}} g(u)\mathrm{~d} u}{x^{2}} \right] \\ \\
& = \textcolor{lightblue}{ \lim_{x \to 0} 3x \cdot g(x^{3}) } – \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{3}} g(u)\mathrm{~d} u}{x^{2}} \\ \\
& = \textcolor{lightblue}{ 0 } – \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{3}} g(u)\mathrm{~d} u}{x^{2}} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \\ \\
& = – \lim_{x \to 0} \frac{3x^{2} g(x^{3})}{2x} \\ \\
& = – \lim_{x \to 0} \frac{3x g(x^{3})}{2} \\ \\
& = – \lim_{x \to 0} 3x \cdot \textcolor{orange}{ \lim_{x \to 0} \frac{g(x^{3})}{2} } \\ \\
& = – \lim_{x \to 0} 3x \cdot \textcolor{orange}{ \text{常数} } \\ \\
& = – \ 0 \cdot \textcolor{orange}{ \text{常数} } \\ \\
& = 0 = f ^{\prime} (0)
\end{aligned}
$$

所以可知，函数 $f ^{\prime} (x)$ 在点 $x = 0$ 处连续.