2026年考研数二第13题解析：曲率半径

一、题目

二、解析

首先，在 $x^{2} + 2\sqrt{3}xy + y^{2} =1$ 等号两端，同时对 $x$ 求导，得：

$$
2x + 2\sqrt{3}y + 2\sqrt{3}xy ^{\prime} + 2yy ^{\prime} = 0 \tag{1}
$$

将 $x=0$, $y=1$ 代入 $(1)$ 式，得：

$$
y ^{\prime} (0) = -\sqrt{3}
$$

在 $(1)$ 式的等号两端，继续同时对 $x$ 求导，得：

$$
2 + 2\sqrt{3}y ^{\prime} + 2\sqrt{3}y ^{\prime} + 2\sqrt{3}xy ^{\prime \prime} + 2(y ^{\prime} )^{2} + 2yy ^{\prime \prime} = 0 \tag{2}
$$

将 $x=0$, $y=1$, $y ^{\prime} (0) = -\sqrt{3}$ 代入 $(2)$ 式，得：

$$
y ^{\prime \prime} (0) = 2
$$

综上，由一点处得曲率和曲率半径的计算公式，得曲率为：

$$
k = \frac{|y ^{\prime \prime} (0)|}{[1 + (y ^{\prime} (0))^{2}]^{\frac{3}{2}}} = \frac{2}{(4^{3})^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{4}
$$

因此，点 $(0, 1)$ 处得曲率半径为

$$
R = \frac{1}{k} = 4
$$

---