2026年考研数二第07题解析：二重积分转二次求和

一、题目

»A« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=n+1-i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»B« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»C« $2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n+1-i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

»D« $\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}}$

二、解析

首先，由题目已知条件 $f(x,y)$ $=$ $f(y,x)$ 可知，函数 $f(x, y)$ 应该是如图 01 所示的 $f(x, y)$ $=$ $x^{2} + y^{2}$, 或者如图 02 所示的 $f(x, y)$ $=$ $\cos \left( x^{2} + y^{2} \right)$ $+$ $\pi$ 这样的在坐标系 $XOY$ 平面上的投影是关于 $y = x$ 对称的函数：

图 01.

图 02.

于是，结合积分区域 $D$ $=$ ${ (x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1 }$, 我们可以绘制出如下示意图：

根据上面的分析，我们可以将二重积分 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$ 转为二次积分，并化简：

$$
\begin{aligned}
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y & = \iint_{D_{1}} f(x, y)\mathrm{~d} x \mathrm{d} y + \iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y \\ \\
& = \iint_{D_{1}} f(x, y)\mathrm{~d} x \mathrm{d} y + \iint_{D_{1}} f(y, x) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y \\ \\
& = 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{~d} x \mathrm{d} y \\ \\
& = 2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y)\mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$

接着，观察本题的选项可知，A 选项和 B 选项事实上都是令 $x$ $=$ $\frac{i}{n}$, $y$ $=$ $\frac{j}{n}$, 而 C 选项和 D 选项都是令 $x$ $=$ $\frac{i}{2n}$, $y$ $=$ $\frac{j}{2n}$——

1. 当 $x$ $=$ $\frac{i}{n}$, $y$ $=$ $\frac{j}{n}$ 时，有：

$$
\begin{cases}
\left( 0, 1 \right) \rightarrow \left( \frac{1}{n}, \frac{n}{n} \right) \\
\mathrm{d} x \rightarrow \frac{1}{n}
\end{cases}
\quad \quad
\begin{cases}
\left( 0, x \right) \rightarrow \left( \frac{1}{n}, \frac{i}{n} \right) \\
\mathrm{d} y \rightarrow \frac{1}{n}
\end{cases}
$$

2. 当 $x$ $=$ $\frac{i}{2n}$, $y$ $=$ $\frac{j}{2n}$ 时，有：

$$
\begin{cases}
\left( 0, 1 \right) \rightarrow \left( \frac{1}{2n}, \frac{2n}{2n} \right) \\
\mathrm{d} x \rightarrow \frac{1}{2n}
\end{cases}
\quad \quad
\begin{cases}
\left( 0, x \right) \rightarrow \left( \frac{1}{2n}, \frac{i}{2n} \right) \\
\mathrm{d} y \rightarrow \frac{1}{2n}
\end{cases}
$$

于是——

对于 A 选项，由于：

$$
\begin{aligned}
\frac{n}{n} & = 1 \\ \\
\frac{n+1 – i}{n} & = 1 + \frac{1}{n} – \frac{i}{n} = 1 + 0 – x
\end{aligned}
$$

所以：

$$
2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=n+1-i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}} = 2 \int_{0}^{1}\mathrm{~d} x \int_{1-x}^{1} f \left( x, y \right)\mathrm{~d} y
$$

对于 B 选项，由于：

$$
\begin{aligned}
\frac{n}{n} & = 1 \\ \\
\frac{i}{n} & = x
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} f \left( \frac{i}{n}, \frac{j}{n} \right) \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f \left( x, y \right) \mathrm{~d} y
$$

对于 C 选项，由于：

$$
\begin{aligned}
\frac{2n}{2n} & = 1 \\ \\
\frac{2n + 1 – i}{2n} & = 1 + \frac{1}{2n} – \frac{i}{2n} = 1 – x
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
& \ 2 \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n+1-i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}} \\ \\
= & \ 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2n} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2n} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n+1-i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \\ \\
= & \ 8 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} f \left( x, y \right) \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$

对于 D 选项，由于：

$$
\begin{aligned}
\frac{2n}{2n} & = 1 \\ \\
\frac{i}{2n} & = x
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
& \ \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^{i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \frac{1}{n^{2}} \\ \\
= & \ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n} \cdot \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^{i} f \left( \frac{i}{2n}, \frac{j}{2n} \right) \\ \\
= & \ 2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y)\mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

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