一、题目
已知函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x^{3}} \frac{\mathrm{e}^{t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$，$f$ 的反函数为 $g$, 则（ ）
»A« $g(0)=1$, $g ^{\prime} (0) = \frac{3 \mathrm{e}}{2}$
»B« $g(0)=1$, $g ^{\prime} (0) = \frac{2}{3 \mathrm{e}}$
»C« $g(1)=0$, $g ^{\prime} (1) = \frac{3 \mathrm{e}}{2}$
»D« $g(1)=0$, $g ^{\prime} (1) = \frac{2}{3 \mathrm{e}}$
二、解析
首先，由题可知：
$$
f(1) = \int_{1}^{1} \frac{\mathrm{e}^{t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t = 0
$$
又因为函数 $g$ 与函数 $f$ 互为反函数，即 $f$ 的函数值就是 $g$ 的自变量，$f$ 的自变量就是 $g$ 的函数值，于是：
$$
\textcolor{lightgreen}{
g(0) = 1
}
$$
接着，对 $f(x)$ 求导，可得：
$$
\begin{aligned}
& f ^{\prime} (x) = \frac{\mathrm{e}^{x^{3}}}{1 + x^{6}}3x^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & f ^{\prime} (1) = \frac{3 \mathrm{e}}{2}
\end{aligned}
$$
于是，由反函数的性质可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{ g ^{\prime} (0) } = \frac{1}{f ^{\prime} (1)} = \textcolor{lightgreen}{ \frac{2}{3 \mathrm{e}} }
$$
综上可知，本 题 应 选 B 
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！