2026年考研数二第05题解析：函数的单调性、函数的凹凸性

一、题目

»A« 若 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,1]$ 上单调递增，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值.

»B« 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值，则 $f(x)$ 在 $[-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,1]$ 上单调递增.

»C« 若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是凹函数，则 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 上单调递增.

»D« 若 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 上单调递增，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是凹函数.

二、解析

特例解法

A 选项

取 $f(x)=\begin{cases}x^{2}, & x \in [-1,0) \cup (0,1] \\ 1, & x=0,\end{cases}$ 知 $f(0)$ 不是极小值，A 选项说法 错 误.

B 选项

取 $f(x) = \begin{cases} – x^{2} + 1, & x\in[-1,0)\cup(0,1] \\ 0, & x=0\end{cases}$ 知 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单增，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 单减，但仍满足 $f(0)$ 是极小值，B 选项说法 错 误.

C 选项

若 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 上是凹的，则对任意 $x_{1}<x_{2}<1$, 都有：

$$
\begin{aligned}
& \dfrac{f(1) – f(x_{1})}{1-x_{1}} \leqslant \dfrac{f(1)-f(x_{2})}{1-x_{2}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \dfrac{f(x_{1})-f(1)}{x_{1}-1} \leqslant \dfrac{f(x_{2})-f(1)}{x_{2}-1}
\end{aligned}
$$

于是可知，$\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在区间 $[-1,1)$ 单调递增，C 选项说法 正确 .

D 选项

若令函数 $f(x)$ $=$ $x^{4} – x^{3}$, 此时：

$$
\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x^{4} – x^{3}}{x-1} = \frac{x^{3} \left( x-1 \right)}{x-1} = x^{3}, \ x \in [-1, 1)
$$

根据常用的基本函数的性质可知，$y$ $=$ $x^{3}$ 是一个单调递增的函数，因此可知，$\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 是一个单调递增的函数，符合 D 选项前半部分的假设.

于是，如果函数 $f(x)$ 是一个凹函数，则一定有 $f ^{\prime \prime} (x)$ $>$ $0$, 此时：

$$
f ^{\prime \prime} (x) = 6x(2x-1)
$$

但是，要保证 $f ^{\prime \prime} (x)$ $>$ $0$, 必须有 $\begin{cases}
6x > 0 \\
2x – 1 > 0
\end{cases}$, 或者 $\begin{cases}
6x < 0 \\
2x – 1 < 0
\end{cases}$, 然而：

$$
\begin{cases}
6x > 0 \\
2x – 1 > 0
\end{cases} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
x > 0 \\
x > \frac{1}{2}
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
6x < 0 \\
2x – 1 < 0
\end{cases} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
x < 0 \\
x < \frac{1}{2}
\end{cases}
$$

于是可知，当 $x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right)$ 的时候，就不能保证 $6x$ 和 $2x-1$ 的正负号相同，从而就导致：

$$
f ^{\prime \prime} (x) < 0
$$

综上可知，$f ^{\prime \prime} (x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上不恒大于 $0$, 所以，函数 $f(x)$ 不是凹函数，D 选项说法 错 误.

峰式图解法

对于 A 选项和 B 选项

在 A 选项中，两个区间 $[-1, 0)$ 和 $(0,1]$ 在 $x = 0$ 这一点处都是开区间，所以，我们可以抓住这一点构造反例——

当 $x = 0$ 时，$f(0)$ 的取值（绿色圆点）位于如图 01 所示的位置时，$f(0)$ 显然是极小值：

当 $x = 0$ 时，$f(0)$ 的取值（绿色圆点）位于如图 02 所示的位置时，$f(0)$ 显然也是极小值：

但是，当 $x = 0$ 时，$f(0)$ 的取值（绿色圆点）位于如图 03 所示的位置时，$f(0)$ 显然不是极小值：

所以，A 选项说法 错 误.

在 B 选项中，两个区间 $[-1, 0)$ 和 $(0,1]$ 在 $x = 0$ 这一点处都是开区间，所以，我们也可以抓住这一点构造反例——

如图 04, 05 和 06 所示，绿色线条表示的函数 $f(x)$ 在区间 $[-1, 0)$ 单调递增，在区间 $(0, 1]$ 上单调递减，但是，当 $x = 0$ 时，$f(0)$（绿色圆点）既可能是如图 04 所示的极大值，也可能是如图 05 所示的既非极大值，也非极小值，或者如图 06 所示的极小值：

所以，B 选项说法 错 误.

对于 C 选项和 D 选项

首先，需要明确的一点是，$\frac{f(x) – f(1)}{x – 1}$ 表示的是区间 $[-1, 1)$ 上的点到 $\left( 1, f(1) \right)$ 这个点的变化率（即斜率），而非一阶导函数.

如图 07 所示，如果 $f(x)$ 是一个凹函数，则区间 $[-1, 1)$ 上的点到 $\left( 1, f(1) \right)$ 这一点的斜率确实在逐渐增加（从左到右，连线的倾斜程度在逐渐趋于陡峭）：

所以，C 选项的说法 正确 .

相反的，如图 08 所示，如果 $f(x)$ 是一个凸函数，则区间 $[-1, 1)$ 上的点到 $\left( 1, f(1) \right)$ 这一点的斜率确实在逐渐减小（从左到右，连线的倾斜程度在逐渐趋于平缓）：

接下来，我们来判断一下 D 选项的说法是否正确——

首先，根据 D 选项假设，我们首先绘制一些由点 $\left( 1, f(1) \right)$ 向区间 $[-1, 1)$ 发出的，斜率（从左向右）逐渐增加的线条，如图 09 所示：

接着，我们在这些线条上找一些点，确保由点 $\left( 1, f(1) \right)$ 发出的白色虚线线条，不会穿过这些点之间的平滑连线，如图 10 所示：

之后，把图 10 中找到的这些点连接起来，就得到了一条平滑的曲线，如图 11 所示：

此时，如图 12 所示，从 $C_{1}$ 和 $C_{5}$ 之间的连线可知，这部分的函数图象是一个凸函数，而不是一个凹函数：

所以，D 选项说法 错 误.

事实上，如果我们将向外凸的方向定义为“凸外”，反之为“凸内”，向外凹的方向定义为“凹外”，反之为“凹内”，如图 13 所示：

则可以发现：

1. 对于一个凸函数而言，如果其函数图象上的点与其右侧的另一个点的连线都穿过“凸内”所在的区域，则连线的斜率从左向右看会逐渐减少（斜率可能成负数），如图 08 所示；如果其函数图象上的点与其右侧的另一个点的连线都穿过“凸外”所在的区域，则连线的斜率从左向右看会逐渐增加，如图 11 所示；
2. 对于一个凹函数而言，如果其函数图象上的点与其右侧的另一个点的连线都穿过“凹内”所在的区域，则连线的斜率从左向右看会逐渐增加，如图 07 所示；如果其函数图象上的点与其右侧的另一个点的连线都穿过“凹外”所在的区域，则连线的斜率从左向右看会逐渐减少（斜率可能成负数）.

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