2020年考研数二第01题解析：等价无穷小、变上限积分

一、题目

二、解析

解法一

已知，当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内连续，且 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \sim \lim_{x \rightarrow 0} g(x)$ ，则：

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t \sim \int_{0}^{x} g(t) \mathrm{~d} t
$$

于是——

对于 ⟨A⟩ 选项，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \int_{0}^{x}(\mathrm{e}^{t^{2}}-1) \mathrm{~d} t } \sim \int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{~d} t = \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{3}x^{3} }
$$

对于 ⟨B⟩ 选项，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \int_{0}^{x} \ln(1+\sqrt{t^{3}}) \mathrm{~d} t } \sim \int_{0}^{x} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t = \textcolor{lightgreen}{ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} }
$$

对于 ⟨C⟩ 选项，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \int_{0}^{\sin x}\sin t^{2} \mathrm{~d} t } \sim \int_{0}^{\sin x} t^{2} \mathrm{~d} t \sim \int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{~d} t = \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{3}x^{3} }
$$

对于 ⟨D⟩ 选项，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \int_{0}^{1-\cos x}\sqrt{\sin^{3} t} \mathrm{~d} t } \sim \int_{0}^{1-\cos x} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t \sim \int_{0}^{\frac{1}{2}x^{2}} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t = \textcolor{lightgreen}{ \frac{2}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5}{2}}x^{5} }
$$

综上可知，本 题 应 选 D

解法二

由于对无穷小量每进行一次求导运算，就会将其阶数降低 $1$ 阶，因此，如果我们对 ⟨A⟩, ⟨B⟩, ⟨C⟩, ⟨D⟩ 四个选项中每个式子都做一次求导运算，则既可以消去变上限积分，又仍然可以对比出无穷小量的最高阶，于是——

对于 ⟨A⟩ 选项，有：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{lightgreen}{ \left[ \int_{0}^{x}(\mathrm{e}^{t^{2}}-1) \mathrm{~d} t \right]^{\prime} } = \mathrm{e}^{x^{2}} – 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \lim_{x \rightarrow 0} \left( \mathrm{e}^{x^{2}} – 1 \right) \sim \lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{lightgreen}{x^{2}}
\end{aligned}
$$

对于 ⟨B⟩ 选项，有：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{lightgreen}{ \left[ \int_{0}^{x} \ln(1+\sqrt{t^{3}}) \mathrm{~d} t \right] ^{\prime} } = \ln(1+\sqrt{x^{3}}) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \lim_{x \rightarrow 0} \ln(1+\sqrt{x^{3}}) \sim \lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{lightgreen}{x^{\frac{3}{2}}}
\end{aligned}
$$

对于 ⟨C⟩ 选项，有：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{lightgreen}{ \left[ \int_{0}^{\sin x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t \right] ^{\prime} } = \sin \left( \sin^{2} x \right) \cdot \cos x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \lim_{x \rightarrow 0} \sin \left( \sin^{2} x \right) \cdot \cos x \sim \lim_{x \rightarrow 0} \sin \left( x^{2} \right) \sim \lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{lightgreen}{x^{2}}
\end{aligned}
$$

对于 ⟨D⟩ 选项，有：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{lightgreen}{ \left[ \int_{0}^{1-\cos x}\sqrt{\sin^{3} t} \mathrm{~d} t \right] ^{\prime} } = \left( \sin x \right) \cdot \sqrt{\sin^{3} \left( 1 – \cos x \right)} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \lim_{x \rightarrow 0} \left( \sin x \right) \cdot \sqrt{\sin^{3} \left( 1 – \cos x \right)} \sim \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \left( \frac{1}{2} x^{2} \right)^{\frac{3}{2}} \sim \lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{lightgreen}{x^{4}}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

由于求导运算一般比积分运算更简单，所以，考试的时候，如果要在上面的解法一和解法二之间做选择的话，建议同学们优先选用解法二.

解法三

若函数 $f(x)$ 和 $k(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内连续，且 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 是 $\lim_{x \rightarrow 0} x$ 的 $m$ 阶无穷小，$\lim_{x \rightarrow 0} k(x)$ 是 $\lim_{x \rightarrow 0} x$ 的 $n$ 阶无穷小，则：

$\int_{0}^{k(x)} f(t) \mathrm{~d} t$ 是 $\lim_{x \rightarrow 0} x$ 的 $n(m+1)$ 阶无穷小.

于是——

对于 ⟨A⟩ 选项中的 $\int_{0}^{x}(\mathrm{e}^{t^{2}}-1) \mathrm{~d} t$, 可知 $m = 2$, $n = 1$, 于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
n(m+1) = 3
}
$$

对于 ⟨B⟩ 选项中的 $\int_{0}^{x} \ln(1+\sqrt{t^{3}}) \mathrm{~d} t$, 可知 $m = \frac{3}{2}$, $n = 1$, 于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
n(m+1)=\frac{5}{2}
}
$$

对于 ⟨C⟩ 选项中的 $\int_{0}^{\sin x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$, 可知 $m = 2$, $n = 1$, 于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
n(m+1) = 3
}
$$

对于 ⟨D⟩ 选项中的 $\int_{0}^{1-\cos x}\sqrt{\sin^{3} t} \mathrm{~d} t$, 可知 $m = \frac{3}{2}$, $n = 2$, 于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
n(m+1) = 5
}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

如果掌握了解法三所用的公式，则在考试的时候使用解法三是较快也较为简便的一种方法.

解法四

1. 计算 ⟨A⟩ 选项和 ⟨B⟩ 选项的比值：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ \text{⟨A⟩}}{\text{⟨B⟩}} } = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}} – 1}{\ln \left( 1 + \sqrt{x^{3}} \right)} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x^{\frac{3}{2}}} = \textcolor{lightgreen}{0}
$$

因此可知，⟨B⟩ 选项中的式子不是最高阶的无穷小，于是排除 ⟨B⟩ 选项，接下来继续使用 ⟨A⟩ 选项中的式子与 ⟨C⟩ 选项或者 ⟨D⟩ 选项中的式子做对比.

2. 计算 ⟨A⟩ 选项和 ⟨C⟩ 选项的比值：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\text{⟨A⟩}}{\text{⟨C⟩}} } & = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}} – 1}{\sin \left( \sin^{2} x \right) \cdot \cos x} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{\sin^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x^{2}} = \textcolor{lightgreen}{1}
\end{aligned}
$$

$\sin \left( \sin ^{2} x \right)$ $=$ $\sin \left( \sin x \right)^{2}$.

因此可知，⟨A⟩ 选项中的式子和 ⟨C⟩ 选项中的式子互为等价无穷小，于是，接下来可以使用 ⟨A⟩ 选项中的式子，或者 ⟨C⟩ 中的式子和 ⟨D⟩ 选项中的式子做对比.

3. 计算 ⟨A⟩ 选项和 ⟨D⟩ 选项的比值：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\text{⟨A⟩}}{\text{⟨D⟩}} } & = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}} – 1}{\left( \sin x \right) \cdot \sqrt{\sin^{3} \left( 1 – \cos x \right)}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x \cdot \left( x^{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} \right)^{\frac{1}{2}}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{0} = \textcolor{lightgreen}{ +\infty }
\end{aligned}
$$

因此可知，⟨D⟩ 选项中的式子是 ⟨A⟩ 选项中的式子的高阶无穷小.

综上可知，本 题 应 选 D

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