2019年考研数二第22题解析：等价矩阵、线性表达

一、题目

难度评级：

二、解析

§2.1 求 $a$ 的取值

首先，由于等价矩阵一定包含相似矩阵，所以，等价矩阵和相似矩阵一样，都具有下面的链式等秩公式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
} \tag{1}
$$

其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为等价矩阵或者相似矩阵.

接着，令：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A} } & = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3} \end{pmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & 2 \\
4 & 4 & a^{2} + 3
\end{bmatrix} } \tag{2} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{B} } & = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} & 3 \\
a+3 & 1-a & a^{2} + 3
\end{bmatrix} } \tag{3}
\end{align}
$$

由于向量组 $I$ 与 $II$ 等价，所以，对应的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 也互为等价矩阵.

观察上面的 $(2)$ 式和 $(3)$ 式可知，一定有（绿色背景白色文字的元素构成的二阶子式不等于零）：

$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2
$$

所以，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的秩的可能的取值都有两个，即 $\mathrm{r}$ $=$ $2$ 或者 $\mathrm{r}$ $=$ $3$. 于是，根据《图解等价/相似矩阵的链式等秩公式》这篇文章第三节的结论，我们需要使用涵盖三个矩阵的等秩公式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}
} \tag{4}
$$

于是，我们接下来要构造出矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$, 并对其做一些初等行变换（不能做初等列变换，因为这可能会导致属于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量和属于矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量混合在一起，从而使得到的矩阵不再是矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$， 而是其他的矩阵），消出一些 $0$ 元素：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} } & = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 4 & a^{2} + 3 & a+ 3 & 1 – a & a^{2} + 3
\end{bmatrix} \notag \\ \notag \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & 1 & 1 & 0 & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & a^{2} – 1 & a – 1 & 1 – a & a^{2} – 1
\end{bmatrix} } \tag{4}
\end{align}
$$

接着，观察上面的 $(2)$, $(3)$, $(5)$ 式可知，一定有（绿色背景白色文字的元素构成的二阶子式不等于零）：

$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2
$$

所以，上面的 $(4)$ 式能否成立，主要就取决于 $(2)$, $(3)$, $(5)$ 式对应的矩阵中，第三行元素是否都为（或者可以消为）$0$ 元素；或者是否都不为 $0$ 元素——

或者说，上面的 $(4)$ 式能否成立，主要就取决于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$, 矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩是否都等于 $2$, 或者都等于 $3$——

计算可知，根据 $a$ 的不同取值，对应矩阵的秩如下：

• 当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $3$;
• 当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$;
• 当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$.

接下来，我们有两种方法对 $a$ 的取值进行分析讨论——

方 法 一 ：逐个尝试

• 当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$;
• 当 $a = – 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $\neq$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$;
• 当 $a \neq \pm 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$.

因此，只有当 $a \neq – 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 成立.

方 法 二 ：峰式画图法

分析可知，我们已经知道了 $a$ 的不同取值，以及对应矩阵的秩，所以，接下来要做的就是看看 $a$ 取什么值的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩相同.

于是，我们可以绘制两个同心圆，小圆对应的区域表示 $\mathrm{r}$ $=$ $2$, 大圆对应的区域表示 $\mathrm{r}$ $=$ $3$, 接着再绘制两条直线（这两条直线不一定需要垂直，此外，如果有更多的条件需要同时考虑，我们可以绘制更多的相交或者不相交的圆形以及直线），蓝色直线表示 $a$ $=$ $1$, 橙色直线表示 $a$ $=$ $-1$, 直线之外的其他区域表示 $a$ $\neq$ $1$ 且 $a$ $\neq$ $-1$, 从而构造一个如图 01 所示的筛选图：

因此：

对于“当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 02 所示的方式绘制在筛选图上：

对于“当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 03 所示的方式绘制在筛选图上：

对于“当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 04 所示的方式绘制在筛选图上：

综上，我们就有了如图 05 所示的全局筛选图：

从上面的筛选图可以很明确地看出来：

• 当 $a$ $=$ $1$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 在小圆对应区域内的同一条线上，说明此时这三个矩阵的秩相等；
• 当 $a \neq \pm 1$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 在大圆对应区域内，说明此时这三个矩阵的秩相等；
• 当 $a$ $=$ $-1$ 的时候，只有矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 在小圆对应区域内的同一条线上，说明当 $a$ $=$ $-1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $\neq$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$，于是可知：

若要使 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 成立，必须有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
a \neq -1
}
$$

§2.2 将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示

通过上面一问的计算可知，$a$ 的取值需要为 $a$ $=$ $1$ 或者 $a \neq \pm 1$.

于是，接下来将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示的时候，需要分两种情况计算，第一种情况是：$a$ $=$ $1$; 第二种情况是：$a$ $\neq$ $\pm 1$—

(1) 当 $a$ $=$ $1$ 时

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
4 & 4 & 4 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{x_{1}} & \textcolor{orange}{x_{2}} & \textcolor{orange}{x_{3}} & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{\beta}_{3}} \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\end{aligned}
$$

于是可知，线性方程 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ $=$ $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的等价方程组为：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
3 = x_{1} + 2 x_{3} \\
-2 = x_{2} – x_{3}
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
2x_{3} = 3 – x_{1} \\
x_{3} = x_{2} + 2
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{\text{令 } x_{3} = k} \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
x_{1} = 3 – 2k \\
x_{2} = k-2
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{\beta}_{3} = (3 – 2k) \boldsymbol{\alpha}_{1} + (k-2) \boldsymbol{\alpha}_{2} + k \boldsymbol{\alpha}_{3}
}
$$

其中，$k$ 为任意常数.

(2) 当 $a$ $\neq$ $\pm 1$ 时

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
4 & 4 & a^{2}+3 & a^{2}+3
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{ 第三行减去第一行的四倍 } \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & a^{2}-1 & a^{2}-1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{ \text{第三行除以 } a^{2}-1 } \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第一行减去第三行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第二行减去第三行的两倍} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{交换第一行和第二行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第二行减去第一行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{3}} & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{\beta}_{3}} \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\end{aligned}
$$

由于上面得到的矩阵已经化简得很简单，所以，可以直接观察得到：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{\beta}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{1} – \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}
}
$$

---