tan(arcsin x) 等于多少？

一、结论

首先是本文的结论：

$$
\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 – x ^{2}}}
$$

接下来，「荒原之梦考研数学 | zhaokaifeng.com」将给出有关上面这个结论的详细证明过程。

二、证明

首先：

$$
\tan (\arcsin x) = \frac{\sin (\arcsin x)}{\cos (\arcsin x)}
$$

于是，我们知道，只要计算出来了 $\sin (\arcsin x)$ 和 $\cos (\arcsin x)$ 就可以计算出来 $\tan (\arcsin x)$.

又因为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\sin (\arcsin x) = x
}
$$

且：

$$
\begin{aligned}
& \sin ^{2} (\arcsin x) + \cos ^{2} (\arcsin x) = 1 \\ \\
\Rightarrow & x ^{2} + \cos ^{2} (\arcsin x) = 1 \\ \\
\Rightarrow & \cos ^{2} (\arcsin x) = 1 – x ^{2} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 – x ^{2}}} \\ \\
\end{aligned}
$$

由于函数 $y$ $=$ $\cos (\arcsin x)$ 一定是大于等于零的（如图 01），所以 $\cos (\arcsin x)$ $\textcolor{orangered}{\neq}$ $\textcolor{magenta}{-} \sqrt{1 – x ^{2}}$

于是，根据前面的分析可知：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\tan (\arcsin x)} \\ \\
= & \frac{\sin (\arcsin x)}{\cos (\arcsin x)} \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{x}{\sqrt{1 – x ^{2}}} }}
\end{aligned}
$$

事实上，从函数图象来看，函数 $y$ $=$ $\tan (\arcsin x)$ （橙 色 粗 线） 与 $y$ $=$ $\frac{x}{ \sqrt{1 – x^{2}} }$ （黑 色 虚 线） 的函数图象是完全相同（重合）的：

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