tan(arcsin x) 等于多少？

一、结论

首先是本文的结论：

$$\tan (\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1–x^2}}$$

接下来，「荒原之梦考研数学 | zhaokaifeng.com」将给出有关上面这个结论的详细证明过程。

二、证明

首先：

$$\tan (\arcsin x)=\frac{\sin (\arcsin x)}{\cos (\arcsin x)}$$

于是，我们知道，只要计算出来了 $\sin (\arcsin x)$ 和 $\cos (\arcsin x)$ 就可以计算出来 $\tan (\arcsin x)$.

又因为：

$$\sin (\arcsin x)=x$$

且：

$$\begin{array}{rl}& {\sin }^2(\arcsin x)+{\cos }^2(\arcsin x)=1\\ \\ \Rightarrow & x^2+{\cos }^2(\arcsin x)=1\\ \\ \Rightarrow & {\cos }^2(\arcsin x)=1–x^2\\ \\ \Rightarrow & \cos (\arcsin x)=\sqrt{1–x^2}\\ \end{array}$$

由于函数 $y$ $=$ $\cos (\arcsin x)$ 一定是大于等于零的（如图 01），所以 $\cos (\arcsin x)$ $\ne$ $-\sqrt{1–x^2}$

于是，根据前面的分析可知：

$$\begin{array}{r}\tan (\arcsin x)\\ \\ =& \frac{\sin (\arcsin x)}{\cos (\arcsin x)}\\ \\ =& \frac{\mathit{x}}{\sqrt{\mathbf{1}–{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}}}\end{array}$$

事实上，从函数图象来看，函数 $y$ $=$ $\tan (\arcsin x)$ （橙 色 粗 线） 与 $y$ $=$ $\frac{x}{\sqrt{1–x^2}}$ （黑 色 虚 线） 的函数图象是完全相同（重合）的：

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