一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
在本文中,荒原之梦考研数学将通过图示的方式,给大家阐述清楚数列的有界、发散、收敛这三个概念之间的异同点,方便大家在其他辅导资料中常见的定义和举特例的方式之外,用更加形象的方式理解这三者之间的区别。
Tip
在本的示意图中:
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[1]. 横坐标表示数列的项数 $n$, 从左向右依次增大;
[2]. 纵坐标表示数列的值 $\left\{ x_{n} \right\}$, 从下到上依次增大;
[3]. 同一个坐标系中不同颜色的点对应的项数 $n$ 不相等,但都属于同一个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
§1. 数列有界不一定收敛
下面这个图中的数列就是一个有界数列(上下两条白色虚线就是界限,下同),但由于其在 $n \rightarrow \infty$ 的时候,$\left\{ x_{n} \right\}$ 的值是不断变化的,所以就没有“收敛”:
![图示:数列的有界、发散与收敛间的区别与联系 | 图 01.](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/01/6b836b99b8cd1d5587383fbc93bd1c389ef045ad338bc6da39628ab7467ee290c9b96ff8b3d62795ffbccb536f1bbc7aaa48111a22d5024466096fb02d52188f.webp)
当然,下面这个数列同时存在两条不断变化的取值,也是一个有界但不收敛的数列:
![图示:数列的有界、发散与收敛间的区别与联系 | 图 02.](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/01/632a446bde4453c29e1f91f393c43d801153d6c41c42a711263f3ca704084fa04cef013c0ecc3249ab9f1301d5326c34d1fb096649c5ba840291bc3519182b99.webp)
§2. 数列有界可能发散,数列发散也可能有界
下面这个数列很明显是一个发散数列:
![图示:数列的有界、发散与收敛间的区别与联系 | 图 03.](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/01/0d476e30a2efbcece71f60fdf5602f6a74c2d8b73377171638d2c3cae6f5ffd7b688053eacfb13ae089a81d22e3f54cbac868777af427d13ee338f9f2abc854e.webp)
下面这个同时有两条发散方向的数列,更是一个发散数列:
![图示:数列的有界、发散与收敛间的区别与联系 | 图 04.](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/01/e72f0b0b65d8778ca39a18e516ed5eff44ccf548bac7856e1166c5e497734cbb65695c78c21fb2b3973f4a320c3d7f9c632a283cc65904777195d3f961d66155.webp)
但是,前面的图 02 也是一个发散数列,同时也是一个有界数列:
![图示:数列的有界、发散与收敛间的区别与联系 | 图 02.](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/01/632a446bde4453c29e1f91f393c43d801153d6c41c42a711263f3ca704084fa04cef013c0ecc3249ab9f1301d5326c34d1fb096649c5ba840291bc3519182b99.webp)
§3. 数列有界且不发散且一定收敛
收敛数列一定有界,收敛数列也一定不发散,下面就是一个典型的收敛数列:
![图示:数列的有界、发散与收敛间的区别与联系 | 图 05.](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/01/f111f11cde193054b44681e0e4035a74ec260fa6e0677f5111a88eabe734df2e0b36c879550186cb16297fd525d49b22a881e0505f47f10fface7a15ac8480e9.webp)
当然,下面这个数列虽然在 $n$ 比较小的时候没有收敛,但在 $n \rightarrow \infty$ 的时候,也是一个收敛数列:
![图示:数列的有界、发散与收敛间的区别与联系 | 图 06.](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/01/f18f2b44b64e2cde9d27ea0c57ee7a6e2529692d5654d5a6a2bc3549851b5dbf613ffc47e44f9d399c20f9333aac76539c974b65c5a688faa24f63ac9fa178a1.webp)
如果对数列的有界、发散、收敛有疑问的话,都可以看一看,理解一下上面的这些示意图,示意图的方式理解这些概念比定义或者特例更容易接受
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。