图示：数列的有界、发散与收敛间的区别与联系

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将通过图示的方式，给大家阐述清楚数列的有界、发散、收敛这三个概念之间的异同点，方便大家在其他辅导资料中常见的定义和举特例的方式之外，用更加形象的方式理解这三者之间的区别。

Tip

在本的示意图中：
[1]. 横坐标表示数列的项数 $n$, 从左向右依次增大；
[2]. 纵坐标表示数列的值 $\left\{x_n\right\}$, 从下到上依次增大；
[3]. 同一个坐标系中不同颜色的点对应的项数 $n$ 不相等，但都属于同一个数列 $\left\{x_n\right\}$

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二、正文

§1. 数列有界不一定收敛

下面这个图中的数列就是一个有界数列（上下两条白色虚线就是界限，下同），但由于其在 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，$\left\{x_n\right\}$ 的值是不断变化的，所以就没有“收敛”：

当然，下面这个数列同时存在两条不断变化的取值，也是一个有界但不收敛的数列：

§2. 数列有界可能发散，数列发散也可能有界

下面这个数列很明显是一个发散数列：

下面这个同时有两条发散方向的数列，更是一个发散数列：

但是，前面的图 02 也是一个发散数列，同时也是一个有界数列：

§3. 数列有界且不发散且一定收敛

收敛数列一定有界，收敛数列也一定不发散，下面就是一个典型的收敛数列：

当然，下面这个数列虽然在 $n$ 比较小的时候没有收敛，但在 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，也是一个收敛数列：

如果对数列的有界、发散、收敛有疑问的话，都可以看一看，理解一下上面的这些示意图，示意图的方式理解这些概念比定义或者特例更容易接受

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