考研数学中那些“各种各样”的矩阵

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。

二、正文

1. 矩阵的表示

$m$ $\times$ $n$ 个元素（可以是数字或符号）排成 $m$ 行 $n$ 列，并用 “$\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$” 或者 “$\begin{bmatrix} \end{bmatrix}$” 这样的括号括起来，就成了一个矩阵。

例如，下面都是矩阵：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
8 & 9
\end{bmatrix}
$$

当然，我们有时候也会使用下面的方式表示一个矩阵：

$$
A, \ B, \ A_{m \times n}, \ [a_{ij}], \ [a_{ij}]_{m \times n}
$$

2. 方阵

一般情况下，矩阵的行数 $m$ 和列数 $n$ 是不相等，但如果行数和列数相等，那么，这样的矩阵我们也称之为“方阵”，也就是所谓“方形的矩阵”。

对于方阵，我们可以根据其阶数称其为 $n$ 阶方阵，或者 $n$ 阶矩阵。

例如，下面是一个 $2$ 阶方阵：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$

下面的矩阵是一个 $6$ 阶方阵：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
\end{bmatrix}
$$

有没有 $1$ 阶方阵呢？

对于 $1$ 阶方阵，我们可以说“有”，也可以说“没有”。

为啥这样说呢，因为 $1$ 阶方阵其实和单独的一个数字的所具有的性质没有什么区别，我们当然可以认为这一个数字是一个方阵，当然，大多数情况下，为了表述和使用上的简洁，我们会直接认为，$1$ 阶方阵就是一个数字。

不过，一般情况下，一个数字是不可以被看作是 $1$ 阶方针的。

3. 上三角矩阵

上三角矩阵就是非零元素只出现在主对角线及其上方的矩阵，上三角矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个上三角矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{2}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3}} \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{2}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3}} \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3}}
\end{bmatrix}
$$

4. 下三角矩阵

下三角矩阵就是非零元素只出现在主对角线及其下方的矩阵，下三角矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个下三角矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} & 0 & 0 \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{2}} & 0 \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{2}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3}}
\end{bmatrix}
$$

5. 对角矩阵

如果一个矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，也就是说，这个矩阵只有主对角线上含有非零元素，那么，就称其为对角矩阵，对角矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个对角矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{2}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3}}
\end{bmatrix}
$$

此外，对于 $n$ 阶对角矩阵，我们一般记为：

$$
\mathbf{diag}(\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\xi_{1}}}, \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\xi_{2}}}, \cdots, \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\xi_{n}}} ) \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\xi_{1}}} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\xi_{2}}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\xi_{n}}}
\end{bmatrix}
$$

其中，$\xi_{1}$, $\xi_{2}$, $\cdots$, $\xi_{n}$ 不能全部为零。

6. 标量矩阵

如果上面的对角矩阵中 $\xi_{1}$, $\xi_{2}$, $\cdots$, $\xi_{n}$ 全都等于同一个非零数值，则称该矩阵为标量矩阵，标量矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个标量矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{9}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{9}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{9}}
\end{bmatrix}
$$

7. 单位矩阵

如果上面标量矩阵中的 $\xi_{1}$, $\xi_{2}$, $\cdots$, $\xi_{n}$ 全都等于 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}$, 则称该矩阵为单位矩阵，单位矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个单位矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
\end{bmatrix}
$$

8. 对称矩阵

如果一个方阵主对角线两侧对称位置的元素分别相等，则称该矩阵是对称矩阵。

下面的矩阵是一个三阶对称矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{red}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{4}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{5}} \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{4}} & \textcolor{red}{\boldsymbol{2}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{6}} \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{5}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{6}} & \textcolor{red}{\boldsymbol{3}}
\end{bmatrix}
$$

注意：在对称矩阵中，不要求主对角线上的元素全都为 $0$.

9. 反对称矩阵

如果一个矩阵主对角线两侧对称位置的元素互为相反数，则称该矩阵是反对称矩阵。

下面的矩阵是一个三阶反对称矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{red}{\boldsymbol{0}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{4}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{5}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{-4}} & \textcolor{red}{\boldsymbol{0}} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{6}} \\
\textcolor{yellow}{\boldsymbol{-5}} & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{-6}} & \textcolor{red}{\boldsymbol{0}}
\end{bmatrix}
$$

注意：反对称矩阵主对角线上的元素必须全部等于 $0$.

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