由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性

一、题目

(A) $f ( – x )$ $>$ $g ( – x )$

(B) $f ^ { \prime } ( x )$ $<$ $g ^ { \prime } ( x )$

(C) $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ $<$ $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$

(D) $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$ $<$ $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )$

难度评级：

二、解析

因为函数 $f ( x )$, $g ( x )$ 可导，所以函数 $f ( x )$, $g ( x )$ 一定连续，于是有：

$$
\begin{cases}
\textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )} & = \textcolor{springgreen}{f \left( x _ { 0 } \right)} \\ \\
\textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )} & = \textcolor{springgreen}{g \left( x _ { 0 } \right)}
\end{cases}
\tag{1}
$$

又因为，在区间 $( – \infty , + \infty )$ 上有 $f ( x )$ $<$ $g ( x )$, 由极限的保号性可知，在点 $x$ $=$ $x _ { 0 }$ 的某去心邻域内必有：

$$
\textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )} \leqslant \textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )}
$$

即下式一定成立：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x ) < \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )
}
}
$$

因此，D 选项正确。

* 对于 A 选项，可以取 $f ( x )$ $=$ $0$, $g ( x )$ $=$ $1$, 则 $f ( -x )$ $=$ $0$, $g ( -x )$ $=$ $1$，因此 A 选项不正确；

** 对于 B 选项，也可以取 $f ( x )$ $=$ $0$, $g ( x )$ $=$ $1$, 则 $f^{\prime}( x )$ $=$ $0$, $g^{\prime} ( x )$ $=$ $0$，因此 B 选项不正确；

*** 对于 C 选项，当变限积分中的 $x > 0$ 时，$\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ $>$ $0$, $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ $>$ $0$, 所以在 $f(x)$ $<$ $g(x)$ 的情况下，下式成立：

$$
\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t < \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t
$$

但是，当 $x = 0$ 时，有：

$$
\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t = 0
$$

当 $x \leqslant 0$ 时，由于 $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 是一个比 $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ 小的负数，$\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ 本身也是一个负数，所以有：

$$
\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t > \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t
$$

综上可知，本 题 应 选 D