一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知,函数 $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 在区间 $( – \infty , + \infty )$ 上都是可导函数,且 $f ( x )$ $<$ $g ( x )$, 则下面说法一定正确的是哪个?
(A) $f ( – x )$ $>$ $g ( – x )$
(B) $f ^ { \prime } ( x )$ $<$ $g ^ { \prime } ( x )$
(C) $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ $<$ $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$
(D) $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$ $<$ $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )$
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二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
因为函数 $f ( x )$, $g ( x )$ 可导,所以函数 $f ( x )$, $g ( x )$ 一定连续,于是有:
$$
\begin{cases}
\textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )} & = \textcolor{springgreen}{f \left( x _ { 0 } \right)} \\ \\
\textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )} & = \textcolor{springgreen}{g \left( x _ { 0 } \right)}
\end{cases}
\tag{1}
$$
又因为,在区间 $( – \infty , + \infty )$ 上有 $f ( x )$ $<$ $g ( x )$, 由极限的保号性可知,在点 $x$ $=$ $x _ { 0 }$ 的某去心邻域内必有:
$$
\textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )} \leqslant \textcolor{orangered}{\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )}
$$
即下式一定成立:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x ) < \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )
}
}
$$
因此,D 选项正确。
* 对于 A 选项,可以取 $f ( x )$ $=$ $0$, $g ( x )$ $=$ $1$, 则 $f ( -x )$ $=$ $0$, $g ( -x )$ $=$ $1$,因此 A 选项不正确;
** 对于 B 选项,也可以取 $f ( x )$ $=$ $0$, $g ( x )$ $=$ $1$, 则 $f^{\prime}( x )$ $=$ $0$, $g^{\prime} ( x )$ $=$ $0$,因此 B 选项不正确;
*** 对于 C 选项,当变限积分中的 $x > 0$ 时,$\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ $>$ $0$, $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ $>$ $0$, 所以在 $f(x)$ $<$ $g(x)$ 的情况下,下式成立:
$$
\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t < \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t
$$
但是,当 $x = 0$ 时,有:
$$
\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t = 0
$$
当 $x \leqslant 0$ 时,由于 $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ 是一个比 $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ 小的负数,$\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$ 本身也是一个负数,所以有:
$$
\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t > \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t
$$
综上可知,本 题 应 选 D