矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

(A) $\mathit{A}$ $=$ $\mathit{O}$ 或 $\mathit{B}$ $=$ $\mathit{O}$

(B) $|\mathit{A}|$ $=$ $0$ 或 $|\mathit{B}|$ $=$ $0$

(C) $\mathit{A}\mathit{B}$ $=$ $\mathit{B}\mathit{A}$

(D) $|\mathit{A}|$ $+$ $|\mathit{B}|$ $=$ $0$

难度评级：

二、解析

矩阵乘法不满足消去律

由 $\mathit{A}\mathit{B}$ $=$ $\mathit{O}$, 可得：

$$|\mathit{A}\mathit{B}|=|\mathit{A}||\mathit{B}|=0$$

因此可知，$|\mathit{A}|$ $=$ $0$ 或 $|\mathit{B}|$ $=$ $0$, 也就是说，可能存在下面三种情况：

1. $|\mathit{A}|$ $=$ $0$ 且 $|\mathit{B}|$ $=$ $0$
2. $|\mathit{A}|$ $=$ $0$ 且 $|\mathit{B}|$ $\ne$ $0$
3. $|\mathit{A}|$ $\ne$ $0$ 且 $|\mathit{B}|$ $=$ $0$

所以 B 选 项 正 确 ，D 选 项 不 一 定 正 确（在选择题中，D 选项就是一定不正确）。

通过上面的计算，我们可以知道，矩阵对应的行列式是满足乘法消去律的，因为行列式可以被看作一个数字，行列式的性质和数字也就是类似的。

但是，矩阵乘法不满足消去律，也就是说：

$$\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}\nRightarrow \mathit{A}=\mathit{O}$$

$$\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}\nRightarrow \mathit{B}=\mathit{O}$$

因此，A 选 项 不 正 确 。

矩阵乘法不满足交换律

矩阵乘法不满足交换律，因此，通常：

$$\mathit{A}\mathit{B}\ne \mathit{B}\mathit{A}$$

因此，C 选 项 不 正 确 。

例子

若令 $\mathit{A}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $\mathit{B}$ $=$ $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ –1& –1\end{array}\right)$, 则矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 满足：

$$\begin{array}{r}\mathit{A}\mathit{B}\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ –1& –1\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ \\ & =\mathit{O}\end{array}$$

但是，很明显：

$$\mathit{A}\ne \mathit{O}$$

$$\mathit{B}\ne \mathit{O}$$

因此，矩阵乘法 不 满 足 消去律。

又因为：

$$\begin{array}{r}\mathit{B}\mathit{A}\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ –1& –1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -2\end{array}\right)\\ \\ & \ne \mathit{O}\\ \\ & \ne \mathit{A}\mathit{B}\end{array}$$

因此，矩阵乘法 不 满 足 交换律。

综上可知，本 题 应 选 B

下一页还有一道题目，进一步展示了虽然矩阵本身一般不满足交换律，但是矩阵对应的行列式满足交换律：