用简化公式快速记住三角函数的和差化积与积化和差公式（荒原之梦考研数学原创）

一、前言

由于不经常使用，三角函数的和差化积和积化和差公式是我们在考研数学的复习过程中很容易忽略的一个知识点。

虽然大部分题目不使用和差化积和积化和差公式也能做出来，但掌握这些公式，对于开拓我们的解题思路，甚至在必要的时候用来“救急”都是很有必要的。

同时，在本文中，荒原之梦考研数学还会给大家提供一个原创的记忆这些公式的方法，帮助大家更高效的记忆和掌握这些公式。

二、正文

和差化积公式

(1)

$$
\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac { \alpha + \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha – \beta } { 2 }
$$

(2)

$$
\sin \alpha – \sin \beta = 2 \cos \frac { \alpha + \beta } { 2 } \sin \frac { \alpha – \beta } { 2 }
$$

(3)

$$
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac { \alpha + \beta } { 2 } \cos \frac { \alpha – \beta } { 2 }
$$

(4)

$$
\cos \alpha – \cos \beta = – 2 \sin \frac { \alpha + \beta } { 2 } \sin \frac { \alpha – \beta } { 2 }
$$

Next

观察可知，上面的公式中三角函数 $\sin$ 和 $\cos$ 的取值从左到右是固定的，都是依次为：

$$
\alpha, \ \beta, \ \frac{\alpha + \beta}{2}, \ \frac{\alpha – \beta}{2}
$$

因此，如果我们不看上面的角度值，并且用 $S$ 表示 $\sin$, 用 $C$ 表示 $\cos$, 则上面的公式，就可以简化为：

$$
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{
\begin{aligned}
S + S & = 2SC \\
S – S & = 2CS \\
C + C & = 2CC \\
C – C & = -2SS
\end{aligned}
}}
$$

这样以来，我们就可以很容易记住上面的三角函数和差化积公式了。

积化和差公式

(5)

$$
\sin \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } [ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha – \beta ) ]
$$

(6)

$$
\cos \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } [ \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha – \beta ) ]
$$

(7)

$$
\cos \alpha \sin \beta = \frac { 1 } { 2 } [ \sin ( \alpha + \beta ) – \sin ( \alpha – \beta ) ]
$$

(8)

$$
\sin \alpha \sin \beta = – \frac { 1 } { 2 } [ \cos ( \alpha + \beta ) – \cos ( \alpha – \beta ) ]
$$

Next

观察可知，上面的公式中三角函数 $\sin$ 和 $\cos$ 的取值从左到右是固定的，都是依次为：

$$
\alpha, \ \beta, \ \alpha + \beta, \ \alpha – \beta
$$

因此，如果我们不看上面的角度值，并且用 $S$ 表示 $\sin$, 用 $C$ 表示 $\cos$, 则上面的公式，就可以简化为：

$$
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{
\begin{aligned}
SC & = \frac{1}{2} (S + S) \\ \\
CC & = \frac{1}{2} (C + C) \\ \\
CS & = \frac{1}{2} (S – S) \\ \\
SS & = \frac{-1}{2} (C – C)
\end{aligned}
}}
$$

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