混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续

一、题目

难度评级：

二、解析

Caution

在使用 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$ $=$ $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$ 的性质前，一定要确保 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$ 和 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$ 都是连续的。

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第 (1) 问

根据全微分的定义，以及题目已知条件 $\mathrm{d}u$ $=$ $y[{\mathrm{e}}^x+$ $f^{\prime }(x)]\mathrm{d}x$ $+$ $f^{\prime }(x)\mathrm{d}y$, 我们可知：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =y[{\mathrm{e}}^x+f^{\prime }(x)]\\ \\ & \Rightarrow \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}={\mathrm{e}}^x+f^{\prime }(x)\end{array}$$

且：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial y}& =f^{\prime }(x)\\ \\ & \Rightarrow \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=f^{\prime \prime }(x)\end{array}$$

又由题目可知，函数 $f(x)$ 有二阶连续导数, 那么，由于 $f(x)$ 二阶可导，因此，其一阶导数也一定连续。即，下面的函数都是连续的：

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime \prime }(x)\\ f^{\prime }(x)\end{array}$$

又由前面的计算可知，函数 $u(x,y)$ 的二阶偏导数其实是由 $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ 以及基本函数 $e^x$ 组成的：

$$\{\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}& ={\mathrm{e}}^x+f^{\prime }(x)\\ \\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}& =f^{\prime \prime }(x)\end{array}$$

即：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$$

进而可知：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)+{\mathrm{e}}^x=f^{\prime \prime }(x)\\ & \Rightarrow f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime }(x)=e^x\end{array}$$

于是，接下来的问题就是，只要我们解出来微分方程 $f^{\prime \prime }(x)$ $-$ $f^{\prime }(x)$ $=$ $e^x$, 就可以得出函数 $f(x)$ 的表达式。

【求解微分方程的通解 · 步骤】

首先，求解该微分方程对应的齐次微分方程 $f^{\prime \prime }(x)$ $-$ $f^{\prime }(x)$ $=$ $0$ 的特征值：
${\lambda }^2–\lambda =0\Rightarrow$
$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=0\\ {\lambda }_2=1\end{array}$

于是，对应的齐次微分方程 $f^{\prime \prime }(x)$ $-$ $f^{\prime }(x)$ $=$ $e^x$ 的通解为：
$\begin{array}{rl}Y& =C_1{e}^{0\cdot x}+C_2{e}^{1\cdot x}\\ & \Rightarrow C_1+C_2{e}^x\end{array}$

接着，将非齐次微分方程的特解设为：
$y^{\ast }=x^{k}A{e}^x$

由于非齐次微分方程右端项 $e^{1\cdot x}$ 中的 “$1$” 是对应的齐次微分方程的一个特征值，所以：
$k=1$

因此，非齐次微分方程特解的准确形式，应设为：
$y^{\ast }=xA{e}^x$

求导得：
$y^{\ast \prime }=A{e}^x+xA{e}^x$
$y^{\ast \prime \prime }=2A{e}^x+xA{e}^x$

将上面的结果代入微分方程 $f^{\prime \prime }(x)$ $-$ $f^{\prime }(x)$ $=$ $e^x$, 得：
$2A{e}^x+xA{e}^x–A{e}^x–xA{e}^x=e^x\Rightarrow$
$A{e}^x=e^x\Rightarrow A=1$

所以，非齐次微分方程 $f^{\prime \prime }(x)$ $-$ $f^{\prime }(x)$ $=$ $e^x$ 的特解为：
$y^{\ast }=x{e}^x$

综上：
$f(x)=C_1+C_2{e}^x+x{e}^x$

又由题目可知：

$$f(0)=f^{\prime }(0)=1$$

因此：

$$\{\begin{array}{l}{C}_1=1\\ C_2=0\end{array}$$

所以：

$$\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathbf{+}\mathbf{1}$$

第 (2) 问

由第 (1) 问可知：

$$f(x)=x{e}^x+1$$

求导得：

$$f^{\prime }(x)=e^x(x+1)$$

若令：

$$f^{\prime }(x)=0$$

则可得驻点：

$$x=-1$$

继续求得二阶导为：

$$f^{\prime \prime }(x)=e^x(x+2)$$

且可得：

$$f^{\prime \prime }(-1)=e^{-1}>0$$

于是可知，$f(-1)$ $=$ $1-{\mathrm{e}}^{-1}$ 为极小值, 函数 $f(x)$ 无极大值。

且：

*当 $x$ $<$ $-1$ 时, $f^{\prime }(x)$ $=$ $e^x(x+1)$ $<0$;

**当 $x$ $>$ $-1$ 时, $f^{\prime }(x)$ $=$ $e^x(x+1)$ $>0$, 故 $(-\mathrm{\infty },-1)$ 为单调递减区间, $(-1,+\mathrm{\infty })$ 为单调递增区间

在本题中，我们是由 $f(x)$ 二阶导数连续，推导出了 $u(x,y)$ 的二阶偏导数连续，其实，根据题目所给条件的不同，有时候我们仅仅已知 $f(x)$ 一阶导数连续，也能推出 $u(x,y)$ 的二阶偏导数连续，详细例题和解析请 点 击 这 里 进入下一页查看。