混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续

一、题目

难度评级：

二、解析

Caution

在使用 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ $=$ $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ 的性质前，一定要确保 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ 和 $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ 都是连续的。

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第 (1) 问

根据全微分的定义，以及题目已知条件 $\mathrm{d} u$ $=$ $y\left[\mathrm{e}^{x}+\right.$ $\left.f^{\prime}(x)\right] \mathrm{~d} x$ $+$ $f^{\prime}(x) \mathrm{~d} y$, 我们可知：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x} & = y\left[\mathrm{e}^x+f^{\prime}(x)\right] \\ \\
& \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\mathrm{e}^x+f^{\prime}(x)
\end{aligned}
$$

且：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial y} & = f^{\prime}(x) \\ \\
& \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = f^{\prime \prime}(x)
\end{aligned}
$$

又由题目可知，函数 $f(x)$ 有二阶连续导数, 那么，由于 $f(x)$ 二阶可导，因此，其一阶导数也一定连续。即，下面的函数都是连续的：

$$
\begin{cases}
f^{\prime \prime}(x) \\
f^{\prime}(x)
\end{cases}
$$

又由前面的计算可知，函数 $u(x, y)$ 的二阶偏导数其实是由 $f^{\prime}(x)$, $f^{\prime \prime}(x)$ 以及基本函数 $e^{x}$ 组成的：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} & = \mathrm{e}^x+f^{\prime}(x) \\ \\
\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} & = f^{\prime \prime}(x)
\end{cases}
$$

即：

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}
$$

进而可知：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) + \mathrm{e}^x = f^{\prime \prime}(x) \\
& \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime}(x) = e^x
\end{aligned}
$$

于是，接下来的问题就是，只要我们解出来微分方程 $f^{\prime \prime}(x)$ $-$ $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^x$, 就可以得出函数 $f(x)$ 的表达式。

【求解微分方程的通解 · 步骤】

首先，求解该微分方程对应的齐次微分方程 $f^{\prime \prime}(x)$ $-$ $f^{\prime}(x)$ $=$ $0$ 的特征值：
$\lambda^{2} – \lambda = 0 \Rightarrow$
$\begin{cases}
\lambda_{1} = 0 \\
\lambda_{2} = 1
\end{cases}$

于是，对应的齐次微分方程 $f^{\prime \prime}(x)$ $-$ $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^x$ 的通解为：
$\begin{aligned}
Y & = C_{1} e^{0 \cdot x} + C_{2} e^{1 \cdot x} \\
& \Rightarrow C_{1} + C_{2} e^{x}
\end{aligned}$

接着，将非齐次微分方程的特解设为：
$y^{*} = x^{k} A e^{x}$

由于非齐次微分方程右端项 $e^{\textcolor{orangered}{1} \cdot x}$ 中的 “$\textcolor{orangered}{1}$” 是对应的齐次微分方程的一个特征值，所以：
$k = 1$

因此，非齐次微分方程特解的准确形式，应设为：
$y^{*} = x A e^{x}$

求导得：
$y^{* \prime} = A e^{x} + x A e^{x}$
$y^{* \prime \prime} = 2A e^{x} + x A e^{x}$

将上面的结果代入微分方程 $f^{\prime \prime}(x)$ $-$ $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^x$, 得：
$2A e^{x} + x A e^{x} – A e^{x} – x A e^{x} = e^{x} \Rightarrow$
$Ae^{x} = e^{x} \Rightarrow A = 1$

所以，非齐次微分方程 $f^{\prime \prime}(x)$ $-$ $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^x$ 的特解为：
$y^{*} = xe^{x}$

综上：
$f(x)=C_{1} + C_{2} e^{x} + x e^{x}$

又由题目可知：

$$
f(0)=f^{\prime}(0)=1
$$

因此：

$$
\begin{cases}
C_1=1 \\
C_2=0
\end{cases}
$$

所以：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
f(x) = x e^{x} + 1
}
}
$$

第 (2) 问

由第 (1) 问可知：

$$
f(x) = x e^{x} + 1
$$

求导得：

$$
f^{\prime}(x)=e^{x} (x+1)
$$

若令：

$$
f^{\prime}(x) = 0
$$

则可得驻点：

$$
x=-1
$$

继续求得二阶导为：

$$
f^{\prime \prime}(x)=e^x(x+2)
$$

且可得：

$$
f^{\prime \prime}(-1)=e^{-1} > 0
$$

于是可知，$f(-1)$ $=$ $1-\mathrm{e}^{-1}$ 为极小值, 函数 $f(x)$ 无极大值。

且：

*当 $x$ $<$ $-1$ 时, $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^{x} (x+1)$ $<0$;

**当 $x$ $>$ $-1$ 时, $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^{x} (x+1)$ $>0$, 故 $(-\infty,-1)$ 为单调递减区间, $(-1,+\infty)$ 为单调递增区间

在本题中，我们是由 $f(x)$ 二阶导数连续，推导出了 $u(x, y)$ 的二阶偏导数连续，其实，根据题目所给条件的不同，有时候我们仅仅已知 $f(x)$ 一阶导数连续，也能推出 $u(x, y)$ 的二阶偏导数连续，详细例题和解析请 点 击 这 里 进入下一页查看。