2023年考研数二第14题解析：曲线一点处的法线

一、题目

曲线 $3 x^{3}=y^{5}+2 y^{3}$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为（ ）

难度评级：

二、解析

$$
3 x^{3}=y^{5}+2 y^{3} \Rightarrow
$$

对 $x$ 求导，$y$ 是 $x$ 的函数 $\Rightarrow$

$$
9 x^{2}=5 y^{4} \cdot y^{\prime}+6 y^{2} \cdot y^{\prime} \Rightarrow
$$

$x = 1$ $\Rightarrow$

$$
3 y^{5}+2 y^{3} \Rightarrow y=1
$$

于是：

$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=1
\end{cases}
\Rightarrow
3 x^{3}=y^{5}+2 y^{3} \Rightarrow
$$

$$
9=5 y^{\prime}+6 y^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
9=11 y^{\prime} \Rightarrow
$$

由于 $y^{\prime}$ 是 $x=1$ 对应点处切线的斜率，因此，该点处法线的斜率为：

$$
k = \frac{-1}{y^{\prime}} = \frac{-11}{9}
$$

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