一、题目
设函数 $z=z(x, y)$ 由 $e^{z}+x z=2 x-y$ 确定, 则 $\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}\right|_{(1,1)}=?$
难度评级:
二、解析
首先:
$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=1
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
e^{z}+x z=2 x-y \Rightarrow e^{z}+z=1 \Rightarrow z=0
$$
对 $e^{z}+x z=2 x-y$ 中的 $x$ 求偏导:
$$
\frac{\partial z}{\partial x} \cdot e^{z}+z+x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=2 \Rightarrow
$$
$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=1 \\
z=0
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}=2 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=1
$$
继续求偏导:
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \cdot e^{z}+\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \cdot e^{z}+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}+x \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=0 \Rightarrow
$$
$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=1 \\
z=0 \\
\frac{\partial z}{\partial x} = 1
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+1+1+1+\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=0 \Rightarrow
$$
$$
2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=-3 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{-3}{2}
$$
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