2023年考研数二第13题解析：偏导数的特解

一、题目

设函数 $z=z(x, y)$ 由 $e^{z}+x z=2 x-y$ 确定, 则 $\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}\right|_{(1,1)}=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=1
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
e^{z}+x z=2 x-y \Rightarrow e^{z}+z=1 \Rightarrow z=0
$$

对 $e^{z}+x z=2 x-y$ 中的 $x$ 求偏导：

$$
\frac{\partial z}{\partial x} \cdot e^{z}+z+x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=2 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=1 \\
z=0
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}=2 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=1
$$

继续求偏导：

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \cdot e^{z}+\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \cdot e^{z}+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}+x \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=1 \\
z=0 \\
\frac{\partial z}{\partial x} = 1
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+1+1+1+\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=-3 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{-3}{2}
$$

---