2023年考研数二第04题解析：二阶常系数微分方程解的性质

一、题目

已知微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的解在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上有界, 则 $a,b$ 的取值范围为 ( )

难度评级：

二、解析

题目问我们解的有界性，所以，我们首先要确定解的形式。为此，我们需要先求解特征根：

$${\lambda }^2+a\lambda +b=0\Rightarrow$$

$$\lambda =\frac{-a\pm \sqrt{a^2–4b}}{2}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=\frac{-a}{2}+\frac{\sqrt{a^2–4b}}{2};\\ {\lambda }_2=\frac{-a}{2}–\frac{\sqrt{a^2–4b}}{2}\end{array}$$

当 $\lambda$ 为互异实根的时候，解的形式为：

$$y^{\ast }=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

当 $\lambda$ 为二重实根的时候，解的形式为：

$$y^{\ast }=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$$

当 $\lambda =\alpha \pm \beta i$ 为虚根的时候，解的形式为：

$$y^{\ast }=C_1{e}^{\alpha x}\cos \beta x+C_2{e}^{\alpha x}\sin \beta x$$

从上面的三种解的形式可以看出，由于函数 $y=e^x$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上是一个无界函数，因此，只要我们保证解中不存在关于 $e$ 的部分，并利用三角函数的有界性，保证解在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上有界了。

为此，$\lambda$ 需要是一个虚数，并且 $\alpha =0$, 于是：

$$\{\begin{array}{l}a=0;\\ a^2–4b<0\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}a=0;\\ b>0\end{array}$$

综上可知，正确选项为：C.