1992 年考研数二真题解析

七、解答题 (本题满分 9 分)

求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$, 使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0,x=2$ 所围成图形面积最小.

首先，根据题目，我们可以绘制出如下示意图：

设切点为：

$$T(t,\sqrt{t})$$

则：

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow$$

$$y-\sqrt{t}=\frac{1}{2\sqrt{t}}(x-t)\Rightarrow$$

切线方程为：

$$y=\frac{1}{2\sqrt{t}}x+\frac{\sqrt{t}}{2}$$

于是：

$$S(t)={\int }_0^2[\frac{1}{2\sqrt{t}}x+\frac{\sqrt{t}}{2}-\sqrt{x}]\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$S(t)={\frac{1}{4\sqrt{t}}{x}^2|}_0^2+{\frac{\sqrt{t}}{2}x|}_0^2-{\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}|}_0^2\Rightarrow$$

$$S(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt{t}-\frac{4\sqrt{2}}{3}\Rightarrow$$

$$S^{\prime }(t)=-\frac{1}{2}{t}^{\frac{-3}{2}}+\frac{1}{2}{t}^{\frac{-1}{2}}\Rightarrow$$

$$S^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=1$$

又：

$$S^{\prime \prime }(1)>0$$

因此，要求解的切线方程为：

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$