1992 年考研数二真题解析

六、计算题 (本题满分 9 分)

计算曲线 $y=\ln (1-x^2)$ 上相应于 $0⩽x⩽\frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.

根据弧长的计算公式：

$$l={\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+{[\ln (1-x^2)]}^{12}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

于是：

$$l={\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+{\left(\frac{-2x}{1-x^2}\right)}^2}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+\frac{4x^2}{{(1-x^2)}^2}}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1+x^4-2x^2+4x^2}{{(1-x^2)}^2}}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{{(1+x^2)}^2}{{(1-x^2)}^2}}\mathrm{d}x=$$

这里去根号不需要加绝对值

$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1+x^2}{1-x^2}\mathrm{d}x$$

接下来需要注意，拆解分子的时候，尽可能不要像下面这样用变量凑：

$$\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{(1-x^2)+2x^2}{1-x^2}$$

而是要优先用数字凑：

$$\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{2-(1-x^2)}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}-1$$

于是：

$$l={\int }_0^{\frac{1}{2}}(\frac{2}{1-x^2}-1)\mathrm{d}x=$$

$$2{\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(1+x)(1-x)}\mathrm{d}x-{\int }_0^{\frac{1}{2}}1\mathrm{d}x=$$

$$2\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)\mathrm{d}x-\frac{1}{2}=$$

这里需要注意，由于 $\ln (1-x)$ 求导会产生负号，因此，需要把上一步的“加号”变成“减号”：

$$\ln (1+x)–\ln (1-x){|}_0^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}=\ln 3-\frac{1}{2}$$