六、计算题 (本题满分 9 分)
计算曲线 $y=\ln \left(1-x^{2}\right)$ 上相应于 $0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.
根据弧长的计算公式：
$$
l=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+\left[\ln \left(1-x^{2}\right)\right]^{12}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
于是：
$$
l=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+\left(\frac{-2 x}{1-x^{2}}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+\frac{4 x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1+x^{4}-2 x^{2}+4 x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{\left(1+x^{2}\right)^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
这里去根号不需要加绝对值
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} \mathrm{~ d} x
$$
接下来需要注意，拆解分子的时候，尽可能不要像下面这样用变量凑：
$$
\textcolor{orangered}{
\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=\frac{\left(1-x^{2}\right)+2 x^{2}}{1-x^{2}}
}
$$
而是要优先用数字凑：
$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=\frac{2-\left(1-x^{2}\right)}{1-x^{2}}=\frac{2}{1-x^{2}}-1
}
$$
于是：
$$
l=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{1-x^{2}}-1\right) \mathrm{~ d} x=
$$
$$
2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{(1+x)(1-x)} \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 \mathrm{~ d} x=
$$
$$
2 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x} }\right) \mathrm{~ d} x-\frac{1}{2}=
$$
这里需要注意，由于 $\ln(1-x)$ 求导会产生负号，因此，需要把上一步的“加号”变成“减号”：
$$
\textcolor{springgreen}{ \ln (1+x) – \ln (1-x) } \Big|_{0} ^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}=\ln 3-\frac{1}{2}
$$