1992 年考研数二真题解析

五、解答题 (本题满分 9 分)

求微分方程 $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=x{\mathrm{e}}^x$ 的通解.

$${\lambda }_1-3\lambda +2=0\Rightarrow \lambda =\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=\frac{3+1}{2}=2,{\lambda }_2=\frac{3-1}{2}=1$$

于是可知，齐通为：

$$y^{\ast }=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^x$$

非齐特设为：

$$Y^{\ast }=x^k(Ax+B)e^x\Rightarrow$$

则：

$$Y^{\ast }=x(Ax+B)e^x\Rightarrow$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }=(Ax+B)e^x+x[A{e}^x+(Ax+B)e^x]$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }=A{e}^x+(Ax+B)e^x+A{e}^x+(Ax+B)e^x$$

$$+x[A{e}^x+A{e}^x+(Ax+B)e^x]$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }-3{\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }+2\left(Y^{\ast }\right)=x{e}^{\ast }\Rightarrow$$

$$A+Ax+B+A+Ax+B+Ax+Ax+A{x}^2+$$

$$Bx-3Ax-3B-3Ax-3A{x}^2-3Bx+$$

$$2A{x}^2+2Bx=x\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}2A–B=0\\ –2A=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A=\frac{-1}{2}\\ B=-1\end{array}\Rightarrow$$

$$Y^{\ast }=-x(\frac{1}{2}x+1)e^x\Rightarrow$$

于是，非齐通为：

$$Y=y^{\ast }+Y^{\ast }=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^x-x(\frac{1}{2}x+1)e^x$$